热门试卷

见解析

证明：(1)当n=2时，

(2)假设当n=k时成立，即

m值等于36

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36

（1）第个等式：，第个等式：，第个等式：；（2）详见解析.

试题分析：（1）通过观察前4个等式的特征不难得到第个等式，同过归纳，也易猜测第（）个等式、不过这里涉及到正负号问题，这个问题经常通过或来调控；（2）首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，如何利用假设呢？就是要创造假设所具备的条件，那才会有假设所具有的结论，故有“凑假设”一说.

试题解析：（1）第个等式：                 2分

第个等式：                      4分

第个等式：           6分

（2）证明：（1）当时，左边， 右边，左边右边，等式成立.   8分

（2）假设（）时，等式成立，即.

那么当时，

∴当时，等式也成立.

根据（1）、（2）可知，对于任何等式均成立．                        14分

(1) (2)见解析

本试题主要是考查数列的归纳猜想思想的运用，以及数学归纳法证明关于自然数的等式问题。

（1）因为数列中，，其前n项和满足，，对n 令值得到前几项，然后猜想得到通项公式。

（2）根据猜想，运用数学归纳法来证明其正确性，注意推理中要用到假设。

…………4分

（1）bn=3n－2（2）当a＞1时，Sn＞logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1

设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2

(2)证明：由bn=3n－2知

Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)

=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…

(1+)与的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*)

①当n=1时，已验证(*)式成立.

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

则当n=k+1时，

,即当n=k+1时，(*)式成立

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1

（1），，；（2）见解析.

第一问利用由，得，而、

所以，只有类似可得，，

第二问（i）当时，易知，为奇数；

（ii）假设当时，，其中为奇数；

则当时，

所以，

解（1）由，得，而、

所以，只有，………………………2分

类似可得，，…………………………5分

（2）证：（用数学归纳法证明）

（i）当时，易知，为奇数；……………………7分

（ii）假设当时，，其中为奇数；……………………8分

则当时，

，

所以，                                      ……………………11分

又、，所以是偶数，

而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.                   ……………………14分

综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数． -----------------------------15分

（1）=10

（2） =

通过观察可知f(3)=10.

(2)在求f(n)时，可以观察归纳出f(n)的递推关系,

然后再采用叠加求通项的方法求出.

（1）a2=－ a3=－ a4=－

（3）S=Sn=0

∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)                      

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

同理可得：a4=－,由此可推出：an=

(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.

②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

故Sk2=－·(Sk－)

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

∴Sk= (舍)

由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

由①②知，an=对一切n∈N成立.

(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0