热门试卷

（1），，

（2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的a,b,c的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。

试题分析：解：（1），，                    3分

（2）假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得

             6分

于是，对n=1,2,3下面等式成立：

      8分

记

假设n=k时上式成立，即       10分

那么

也就是说，等式对n=k+1也成立                          3分

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立    14分

点评：主要是考查了运用数学归纳法证明与自然数相关的命题，以及归纳猜想思想的运用。属于中档题。

当n=1时,<; 当n=2时,=; 当n=3时,>;当n=4时,=;

当时,<

当n=1时,<; 当n=2时,=; 当n=3时,>;

当n=4时,=; 当n=5时,<; 当n=6时,<

猜想：当时,<…………………………………………………………6

下面下面用数学归纳法证明：

（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立……………………………………..7分

（2）假设n=k（）时猜想成立，即………………………………..8分

则，，当时

，从而

所以当n=k+1时，猜想也成立…………………………………………………………13分

综合（1）（2），对猜想都成立…………………………………………………14分

从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立

把n=1,2,3代入得方程组，解得，

猜想：等式对一切都成立

下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立

（2）假设n=k时等式成立，即则

所以当n=k+1时，等式也成立

综合（1）（2），对等式都成立

【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式

：略

： （1）当时，成立；

（2）设时，成立；

则当时，

由于当时，，即：

则当时，

=

通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。

试题分析：解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）= 

n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。

点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查数学归纳法的第二步，在假设的基础上，n=k+1时等式左边增加的项，关键是搞清n=k时，等式左边的规律，从而使问题得解

证明略

(1)①当n=2时，，不等式成立.

②假设当n=k时不等式成立，即 （，

那么.

这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据①②可知：对所有成立.

略

解：假设存在整式，使得对n≥2的一切自然数都成立,则

当n=2时有,又∵,∴;

当n=3时有,又∵,

∴;……, 猜想：g(n)=n(n≥2),

下面用数学归纳法加以证明：

(1)当n=2时，已经得到证明.

(2)假设当n=k(k≥2，k∈N)时，结论成立,即

存在g(k)=k，使得对k≥2的一切自然数都成立成立.则当n=k+1时，

,

又∵∴,

∴,

∴当n=k+1时，命题成立.

由(1)(2)知,对一切n(n≥2,n∈N*)有=n，使得

都成立.

，证明见解析。

由已知得 

当时，，

同理可得  ---------------------4分

猜想 -------------------6分

下面用数学归纳法证明成立

①当时，由上面的计算结果知成立   ------8分

②假设时，成立，即 ，

那么当时，

即         

当时，也成立      ---------------13分

综合①②所述，对 ，成立。-----14分