热门试卷

（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；

当n=2时，f(2)=，g(2)=，

所以f（2）＜g（2）；

当n=3时，f(3)=，g(3)=，

所以f（3）＜g（3）．

（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：

①当n=1，2，3时，不等式显然成立．

②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，

即1++++＜-，

那么，当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+＜-+，

因为-(-)=-=＜0，

所以f(k+1)＜-=g(k+1)．

由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．

证明：（1）当时，左边，右边左边，∴等式成立．

（2）设当时，等式成立，

即． 则当时，

左边

∴ 时，等式成立．

由（1）、（2）可知，原等式对于任意成立．

首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式

，

下面证明当n=k+1时等式左边

，

根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．

证明：（1）当n=2时，左边-右边=-()2=()2≥0，不等式成立．（2分）

（2）假设当n=k（k∈N*，k＞1）时，不等式成立，即 ≥()k．（4分）

因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N*，

所以（ak+1+bk+1）-（akb+abk）=（ak-bk）（a-b）≥0，于是ak+1+bk+1≥akb+abk．（6分）

当n=k+1时，()k+1=()k•≤•=

≤=．

即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）

综合（1），（2）知，对于a，b∈R+，n＞1，n∈N*，不等式 ≥()n总成立（11分）．

（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，

∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=

（Ⅱ）只需证：1++…+≤ ．

1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．

当n=2时，左边＜右边，所以命题成立

②假设n=k时命题成立，即1++…+≤，

当n=k+1时，左边=1++…++≤+．

＜+

=+

=．命题成立

由①②可知，++…+≤对一切n∈N+恒成立．

见解析

证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．

(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，

则当n＝k＋1时，

42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3

＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)

∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，

证明略

(1)当n=1时,,不等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，即，

则，

当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

见解析

（Ⅲ）假设存在正整数成立，

即有（）+＝1.　　②

又由（Ⅱ）可得

（）+

+与②式矛盾，

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.

故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；

当n=1时，3≠4，等式不成立；

当n=2时，32+42＝52，等式成立；

当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；

当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.

综上，所求的n只有n=2,3.

综合（1）、（2）可知等式对于任意正整数都成立。…………………………………12分

（1）详见解析，（2）详见解析.

试题分析：（1）作差证明不等式，因为，，所以，且．

因此．即.（2）本题证明：用数学归纳法，而证明用反证法. ① 当时，由题设可知成立；② 假设时，，

当时，由（1）得，．由①，②可得，．假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．因为，，， ，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．

【证明】（1）因为，，与题设矛盾，所以，．若，则，根据上述证明可知存在矛盾．

所以，

所以，且．

因为．

所以，

所以，即．                          4分

（注：用反证法证明参照给分）

（2）下面用数学归纳法证明：．

① 当时，由题设可知结论成立；

② 假设时，，

当时，由（1）得，．

由①，②可得，．                               7分

下面先证明．

假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．

因为，，

， ，，

与题设矛盾，所以，．          

若，则，根据上述证明可知存在矛盾．

所以成立．                                          10分

点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一

解析：猜想

下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，，猜想成立

（2）假设当n=k时猜想成立，则

当n=k+1时猜想也成立

综合（1）（2），对猜想都成立

（1）∵a2=(1-a21)，且a1∈（0，1），由二次函数性质可知a2∈（0，）．

∵a3=(1-)及a2∈(0，)∴a3∈(，)．(3分)

（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，＜a3＜，

则-＜-(-1)＜a3-(-1)＜-(-1)＜，

于是当n=3时，|an-(-1)|＜成立．

②假设在n=k（k≥3）时，|an-(-1)|＜（*）成立，即|ak-(-1)|＜．

则当n=k+1时，|ak+1-(-2)|=|--(-1)|=|ak-(-1)|•|ak+-1|，

其中0＜ak+-1＜2(-1)+＜1(k≥3)

于是|ak+1-(-1)|＜|ak-(-1)|＜，

从而n=k+1时（*）式得证．

综合①②可知：n≥3，n∈{N}时|an-(-1)|＜．

（3）由|an-(-1)|＜(n≥3)变形为：|-|＜•=•，

而由-1-＜an＜-1+（n≥3，n∈N）

可知：-1-＜an＜+1+在n≥3上恒成立，

于是＜，＜＜12，

又∵|an-(-1)|＜，∴|-(+1)|＜，

从而原不等式|bn-(+1)|＜（n≥3，n∈N）得证．（14分）

证明：当n=1时，

xn-nan-1x+（n-1）an=x-x=0

易得此时xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立；

设n=k时，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立，

即xk-kak-1x+（k-1）ak能被（x-a）2整除成立，

则n=k+1时，

xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1=xk-kak-1x+（k-1）ak+kak─1（x─a）2

即xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1也能被（x-a）2整除

综合，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）．

（1）()．（2）当时，满足条件.

试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算. 由已知得，．所以时，；当时，．第二步猜想，()．第三步证明，本题可用数学归纳法证，也可证等式恒成立，（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设，则，又，且501=1501=3167，故 或所以 或

由解得；由得无整数解．所以当时，满足条件．

试题解析：（1）由已知得，．

所以时，；当时，．      2分

猜想：()．                                   3分

下面用数学归纳法证明：

①当时，结论成立．

②假设当时，结论成立，即，

将代入上式，可得．

则当时，

．

故当结论成立，

根据①,②可得，()成立．                        5分

（2）将代入，得，

则，，

设，则，

即，                                   7分

又，且501=1501=3167，

故 或

所以 或

由解得；由得无整数解．

所以当时，满足条件．                                          10分

见解析

【证明】(1)当n=2时,左边=+=>,不等式成立.

(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,

则++…+>,

则当n=k+1时,

左边=++…+++

=+++…+++->+->.

∴当n=k+1时,不等式成立,

根据(1)(2)知,原不等式对n∈N*且n>1都成立.