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当n＝1，2时f(n)<；当n≥3时f(n)>.

当n＝1，2时f(n)<；

当n≥3时f(n)>.

下面用数学归纳法证明：

①当n＝3时，显然成立；

②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，即f(k)>，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)>＋＝>＝，即n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②知，对任何n≥3，n∈N不等式成立．

证明：（1）当n=1时，左=1-==右，等式成立．

（2）假设当n=k时等式成立，

即1-+-+…+-=++…+

则1-+-+…+-+(-)=++…++(-)=+…+++∴当n=k+1时，等式也成立．

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立．

（1）∵f(x)+f-1(x)＜x，令x=an，∴f(an)+f-1(an)＜an．

即an+1+a n-1＜an．

（2）∵an+1＜an-an-1，∴an+1-2an＜(an-2an-1)，

即bn＜bn-1．∵b0=a1-2a0=-6，

∴bn＜bn-1＜(

1

2

)2bn-2＜…＜(

1

2

)nb0=(-6)(

1

2

)n（n∈N*）．

（3）由（2）可知：an+1＜2an+(-6)()n，

假设存在常数A和B，使得an=对n=0，1成立，

则，解得A=B=4．

下面用数学归纳法证明an＜对一切n≥2，n∈N成立．

1°当n=2时，由an+1+an-1＜an，得a2＜a1-a0=×10-8=17=，

∴n=2时，an＜成立．

2°假设n=k（k≥2），不等式成立，即ak＜，

则ak+1＜2ak+(-6)()k＜+==

即是说当n=k+1时，不等式也成立．

所以存在A，B，且A=B=4．

证明：（1）当n=1时，左边=＞，∴n=1时成立（2分）

（2）假设当n=k（k≥1）时成立，即

+++…+＞

那么当n=k+1时，左边=++…+++

=+++…+++-

＞+-＞．

∴n=k+1时也成立（7分）

根据（1）（2）可得不等式对所有的n≥1都成立（8分）

满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（++…+）≥n2（n≥2），

证明如下：

（1）当n=2时，猜想成立；

（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xn）（++…+）≥k2，

那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（++…+）≥k2+2k+1=（k+1）2

则当n=k+1时猜想也成立，根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥2都成立．

（I）分别令n=1，2，3，4，得：

a2=，a3===，

a4===

a5===．

（II）由此，猜想 an=

下面用数学归纳法证明此结论正确．

证明：（1）当n=1时，显然结论成立  

（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即 ak=

那么ak+1===，

也就是说，当n=k+1时结论成立．

根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即 an=

证明：下面用数学归纳法证明

（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，

所以n=2时成立．

（2）假设n=k（k≥2）时成立，即

|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk

当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=

=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|

≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|

＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|

＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1

∴n=k+1时也成立．

由（1）（2）得，原式成立．

（Ⅰ）证明：

①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立．

②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2（k≥2），

那么ak+1=（1+）ak+≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．

根据（1）、（2）可知：ak≥2对所有n≥2成立．

（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有an+1=（1+）an+≤（1++）an（n≥1）

两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln（1++）+lnan≤lnan++

故lnan+1-lnan≤+（n≥1）．

上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤++…++++…+

=1-+（-）+…+-+•=1-+1-＜2

即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．

分别用n=1，2，3代入解方程组⇒

下面用数学归纳法证明．

（1）当n=1时，由上可知等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，

则当n=k+1时，左边=1•[（k+1）2-12]+2[（k+1）2-22]+…+k[（k+1）2-k2]+（k+1）[（k+1）2-（k+1）2]

=1•（k2-12）+2（k2-22）++k（k2-k2）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）

=k4+（-）k2+（2k+1）+2（2k+1）++k（2k+1）

=（k+1）4-（k+1）2．

∴当n=k+1时，等式成立．

由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立．

见解析

试题分析：先验证n=1时命题成立，然后假设n=k时成立，再证明n=k+1也成立即可.

①当，不等式显然成立.              2分

②假设时不等式成立，

即              4分

当时，

左边=

不等式成立.                   7分

由①②可知，对一切都有          8分

（1）；   （2）见解析；

本试题主要是考查了二项式定理和数学归纳法的运用。

（1）记，

则

（2）设，则原展开式变为：，

则

所以

然后求和，并运用数学归纳法证明。

解：（1）记，

则（4分）

（2）设，则原展开式变为：，

则

所以（6分）

当时，，结论成立

假设时成立，即

那么时，

，结论成立。（9分）

所以当时，。（10分）

（1）由题an=an-1+2n×3n-2知，=+2×3n-2，

由累加法，当n≥2时，-=2+2×3+2×32++2×3n-2

代入a1=1，得n≥2时，=1+=3n-1

又a1=1，故an=n•3n-1（n∈N*）．

（2）n∈N*时，bn==．

方法1：当n=1时，S21=1+＞1；当n=2时，S22=1+++＞2；

当n=3时，S23=1++++++＜3．

猜想当n≥3时，S2n＜n．

下面用数学归纳法证明：

①当n=3时，由上可知S23 ＜3成立；

②假设：n=k（k≥3）时，上式成立，即1+++…+＜k．

当n=k+1时，左边=1+++…+++…+＜k++…+＜k+＜k+1，

所以当n=k+1时成立．

由①②可知当n≥3，n∈N*时，S2n＜n．

综上所述：当n=1时，S21＞1；当n=2时，S22＞2；

当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．

方法2：S2n=1+++…+

记函数f(n)=S2n-n=(1+++…+)-n

所以f(n+1)=(1+++…+)-(n+1)

则f(n+1)-f(n)=(++…+)-1＜-1＜0

所以f（n+1）＜f（n）．

由于f(1)=S21-1=(1+)-1＞0，此时S21＞1；

f(2)=S22-2=(1+++)-2＞0，此时S22＞2；

f(3)=S23-3=(1+++++++)-3＜0，此时S23＜3；

由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时S2n＜n．

综上所述：当n=1，2时，S2n＞n；当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．

（3）cn==3n

当n≥2时，≤==-

所以当n≥2时，Tn=++…+≤+(-)+(-)+…+(-)=2-＜2．

且T1=＜2故对n∈N*，Tn＜2得证．