热门试卷

证明：由x1=1，xn+1=1+知，xn＞0（n∈N*），

（Ⅰ）当p=2时，xn+1=1+，

（1）当n=1时，x1=1＜，命题成立．

（2）假设当n=k时，xk＜，

则当n=k+1时，xk+1=1+=2-＜2-=，

即n=k+1时，命题成立．

根据（1）（2），xn＜（n∈N*）．（4分）

（Ⅱ）用数学归纳法证明，xn+1＞xn（n∈N*）．

（1）当n=1时，x2=1+＞1=x1，命题成立．

（2）假设当n=k时，xk+1＞xk，

∵xk＞0，p＞0，

∴＜，

则当n=k+1时，xk+1=1+=2-＜2-=xk+2，

即n=k+1时，命题成立．

根据（1）（2），xn+1＞xn（n∈N*）．（8分）

故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn．（10分）

解：（Ⅰ），，；（Ⅱ）猜想： 

证明：见解析.

本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用，以及归纳猜想数列的通项公式，并运用数学归纳法加以证明的综合运用。

（1）对于n赋值，求解数列的前几项

（2）根据上一问的结论，归纳猜想其通项公式，然后运用数学归纳法分两步来证明。

解：（Ⅰ），，                ………3分

（Ⅱ）猜想：                         ………4分

证明：（1）当时，显然成立；                           ………5分

（2）假设当时，结论成立，即，则

当时，

当时结论也成立．                            ……………7分

综上（1）（2）可知，对N*，恒成立．         …………8分

当时，成立

略

（1）S1=a1=1.S2=，S3==，S4=，猜想Sn=（n∈N*）. 

（2）见解析

本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，数列与不等式的综合等问题．

（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．

（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an．

（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=，                    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=（n∈N*）.                      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，

当n=k+1时，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，           

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=，∴an=.              ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分

(1) ，猜想：；(2)证明：见解析。

本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用，以及归纳猜想思想的运用，并运用数学归纳法加以证明的综合运用。首先先分析前几项，然后发现规律得到通项公式，分两步进行证明。

(1) ………………….（4分）

猜想：………………（6分）

(2)证明：i）当时，，猜想成立………………….（8分）

ii)假设当时，猜想成立，即

那么，当时，

这说明当时，猜想也成立.

由i），ii)知，对………………….（12分）

a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.证明见解析.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.     

主要考查了数列的通项公式和数学归纳法的运用。

由条件得2bn＝an＋an＋1，＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由已知a1＝2，b1＝4可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，结论成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2.

解：由条件得2bn＝an＋an＋1，＝bnbn＋1，

由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.

猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.                     4分

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由已知a1＝2，b1＝4可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，结论成立，即

ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，

bk＋1＝＝＝(k＋2)2.

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切n∈N*都成立．     10分

解：猜想…………………………..4分

证明：

（2）

则当

所以，命题在n=k+1时也成立，综合（1），（2）,命题对任何都成立。

……………………………………12分

略

见解析

(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．

(2)假设当n＝k时不等式成立，即……成立，则当n＝k＋1时，左边＝

＝＝.

所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由(1)，(2)可得不等式恒成立．

（1）；（2）见解析.

(1)根据递推关系可以依次求出，，，.

(2)采用数学归纳法。

解:：（1），，，…………4分

（2）猜想，证明：由已知易知为非负整数。…………6分

①当时，=，能被3整除…………8分

②假设当时，能被3整除，

当时，

也能被3整除

…………12分

综合①②对于任意的正整数，都能被3整除，且…………14分

利用数学归纳法。

试题分析：（1）当n=1时，左边= ，右边=，等式成立。

（2）假设n=k时，等式成立，即…=，

那么n=k+1时，……

=

=，

这就是说，当n=k+1时 等式也成了

故对一切等式都成立。

点评：容易题，利用数学归纳法，可证明与自然数有关的命题，证明过程中，要注意规范写出“两步一结”。

见解析

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.

技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*)

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴

②设n=k时成立，即

则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)

＞()k·()=()k+1