热门试卷

解：（1），

，    …………………………………4分

（2）猜想： 即：

（n∈N*）……5分

下面用数学归纳法证明

n=1时，已证S1=T1  ………………………………………………………………6分

假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

………………8分

则

 ……………………………………………………10分

 ……………………11分

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. ………………………………………14分

略

见解析

①当n＝2时，左边＝＞1，

∴n＝2时不等式成立；

②假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即＞1，

那么当n＝k＋1时，

左边＝

＝

＞1＋(2k＋1)·＞1.

综上，对于任意n∈N*，n>1不等式均成立，原命题得证．

（1）；（2）.

第一问利用函数的极值概念得到，从而得到递推关系式即

第二问中当时， ………1分

猜想≥6时，，然后运用数学归纳法证明。

解：（1）由题意得:. ………1分

得:,可得,即.………3分

(2), 当时， ………1分

猜想≥6时， ………1分

下用数学归纳法证明

①当,,成立.

②假设当(时不等式成立,即,那么………1分

,即当时,不等式也成立, ………2分

由①、②可得：对于所有的都有成立．………1分

见解析

证明（1）时，

左边=右边，等式成立…………3分

（2）假设时等式成立，

即 ………………4分

则

左边=…………6分

………10分

时，等式成立

由（1）（2）知，对一切

 …………12分

(1) ；

(2).当时，，即，所以．而是正整数，所以取。

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，和数列与不等式的综合运用。

（1）根据的，得到前n项和与通项公式的的关系，然后整体化简求解得到其通项公式的求解。

（2）不等式对一切正整数都成立，可以从特殊值入手，求解参数a的范围，然后分析得到结论。

解：(1) 

     ………1分

    又            ………3分

构成以2为首项，以1为公差的等差数列。

                               ………6分

(2).当时，，即，      

所以．                                     ………7分

而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．

（1）当时，已证；                      ………8分

（2）假设当时，不等式成立，即．   ………9分

则当时，

有

 ………11分

因为

即>       所以．

所以当时不等式也成立．          

由（1）（2）知，对一切正整数，都有，………13分

所以的最大值等于25．          ………14分

(1) ，；

（2）猜想：（）证明：见解析.

（1）令 代入，

．可求得，；

（2）由（1）可猜想。用数学归纳法证明，一定用上归纳假设，代入整理可得证。

解：(1) ，；

（2）猜想：（）

证明：(1)当时，；

（2）假设当时，，

即，

当时

，即，

结合（1）（2），可知，成立.

（Ⅰ）63； （Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）通过列举进行计算；（Ⅱ）先从特殊入手，

当时，，，；

当时，，，，所以；

从特殊到一般探求与之间的递推关系，从而便于用数学归纳法证明.

试题解析：（Ⅰ）当时，，，，所以；

（Ⅱ）由，，

猜想，下面证明：

（1）易知时成立；

（2）假设时，

则时，

（其中，为时可能的个数的乘积的和为），

即时也成立，

综合（1）（2）知对，成立．

所以．

；

(2)证明：见解析。

本试题主要是考查哦数列的通项公式的求解和数学归纳法的综合运用。

（1）运用赋值的思想得到前几项，然后猜想通项公式。

（2）运用数学归纳法来分两步证明，注意证明要用到假设。

………4分

………………………………………………………6分

(2)证明：（i）易知，n=1时，猜想正确。………………………………………………7分

，……………………8分

这说明，n=k+1时猜想正确。…………………………………………………11分

 …………………………13分

见解析.

本试题主要是考查了运用数学归纳法证明与自然数有关的命题的证明问题的运用。首先对于n=1证明，然后假设当当时，命题成立，即能够被6整除.，在此基础上可推导当时，命题也成立即可。

证明：1）当时，显然能够被6整除，命题成立.

2）假设当时，命题成立，即能够被6整除.

当时，

.

由假设知能够被6整除，而是偶数，故能够被6整除，从而即能够被6整除.因此，当时命题成立.

由1）2）知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除;

证明略

证明 方法一 用数学归纳法证明：

（1）当n=0时，a0=1，a1=a0(4-a0)=,

所以a0＜a1＜2,命题正确.

（2）假设n=k时命题成立，即ak-1＜ak＜2.

则当n=k+1时，ak-ak+1

=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)

=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)

= (ak-1-ak)(4-ak-1-ak).

而ak-1-ak＜0,4-ak-1-ak＞0,所以ak-ak+1＜0.

又ak+1=ak(4-ak)=［4-（ak-2）2］＜2.

所以n=k+1时命题成立.

由（1）（2）可知，对一切n∈N时有an＜an+1＜2.

方法二 用数学归纳法证明：

(1)当n=0时，a0=1,a1=a0(4-a0)= ,

所以0＜a0＜a1＜2;

(2)假设n=k时有ak-1＜ak＜2成立，

令f(x)= x(4-x),f(x)在［0，2］上单调递增，

所以由假设有：f（ak-1）＜f(ak)＜f(2),

即ak-1（4-ak-1）＜ak（4-ak）＜×2×(4-2),

也即当n=k+1时,ak＜ak+1＜2成立.

所以对一切n∈N，有ak＜ak+1＜2.

见解析.

用数学归纳法证明时，先证明当n取最小值时成立，再假设

 转变成n=k时的模式，也成立。

，证明见解析.

本试题主要考查了数列的归纳法，以及运用数学归纳法求证猜想的结论。

解：………2分

………………………………………………………4分

以下用数学归纳法证明这个猜想

(1)

………………………6分

(2)………………………8分

………………………………………………11分

………………………………12分