热门试卷

略

略

应用数学归纳法．

试题分析：①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，

右边＝2[1＋－1]＝1，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k时，结论成立，即

f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，

那么，当n＝k＋1时，

f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＋f(k)

＝k[f(k)－1]＋f(k)

＝(k＋1)f(k)－k

＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

所以当n＝k＋1时结论仍然成立．

所以f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

点评：中档题，利用数学归纳法，注意遵循“两步一结”。对数学式子变形能力要求较高。

（1），

（2），证明见解析

（1）

（2）猜想,下面用数学归纳法证明

1°.当时,猜想成立.

2°.假设时猜想成立,即有

那么

这就是说当时猜想也成立.

由1°,2°可知,猜想对均成立.

故.

（1），            

（2）   证明见解析

（1）分别令n=1,n=2可求出S1,S2,T1,T2.

(2)根据（I）当中的结果，猜想出,

因为是与正整数n有关的等式可以考虑采用数学归纳法证明.

再证明时一定要按两个步骤进行，缺一不可.

第一步，先验证：n=1时等式成立.

第二步，先假设n=k时，等式成立；再证明n=k+1时，等式也成立，但必须要用上n=k时，归纳假设，否则证明无效

（1），

         ………4分

（2）猜想： 即：

（n∈N*）6分

下面用数学归纳法证明

①       n=1时，已证S1=T1  ………………7分

②       假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

……………9分

则 …11分

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.

1），，    ，    （2）猜想： 即：

（n∈N*）

（1），

，    …………………………………4分

（2）猜想： 即：

（n∈N*）……5分

下面用数学归纳法证明

① n=1时，已证S1=T1  ………………………………………………………………6分

② 假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

………………8分

则

 ……………………………………………………10分

 ……………………11分

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立. ………………………………………14分

同解析

（1）当时．

，∴，∴，又，

∴时，结论成立．

（2）假设时，，结论成立，即，

当时，，

∴，解得，

∴时，结论成立，

由（1）（2）可知,对都有

1）当时，，能被9整除，命题成立．

（2）假设当时，能被9整除，当时，

和都能被9整除．

都能被9整除．

即能被9整除．

即当时，命题成立．

由（1）、（2）可知，对任何命题都成立．

证明一个与有关的式子能被一个数（或一个代数式）整除，主要是找到与的关系，设法找到式子，使得，就可证昨命题成立．

证明略

证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1，

∴左边≥右边，即命题成立.

（2）假设当n=k(k∈N*,k≥1)时，命题成立，

即1+++…+≥.

那么当n=k+1时，要证

1+++…++≥,

只要证+≥.

∵--=

=＜0,

∴+≥成立，

即1+++…++≥成立.

∴当n=k+1时命题成立.

由（1）、(2)知，不等式对一切n∈N*均成立.

见解析.

用数学归纳法要分两个步骤：一是验证n取最小的整数是否成立

二是假设n=k时，命题成立，然后再证明当n=k+1时，命题也成立，在证明时，必须要用上n=k时的归纳假设，否则证明无效这两个步骤上相辅相成的，缺一不可

证明略

证明 （1）当n=1时，左边=1-===右边，

∴等式成立.

（2）假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，等式成立，即

1-+-+…+-=++…+.

则当n=k+1时,

1-+-+…+-+-

=++…++-

=++…+++(-)

=++…+++,

即当n=k+1时，等式也成立，

所以由（1）（2）知对任意的n∈N*等式成立.