热门试卷

证明略

证明 方法一 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64,

命题显然成立.

（2）假设当n="k" (k≥1,k∈N*)时，

f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.

由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)

即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)

∴n=k+1时命题也成立.

根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*，命题都成立.

方法二 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.

（2）假设当n="k" (k≥1,k∈N*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.

由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得

f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),

∴n=k+1时命题成立.

根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*,命题都成立.

的最大值等于25

当时，，即，

所以．

而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．

（1）当时，已证；

（2）假设当时，不等式成立，即．

则当时，

有

．

因为，

所以，

所以．

所以当时不等式也成立．

由（1）（2）知，对一切正整数，都有，

所以的最大值等于25．

（1）an=2n-1，bn=（2）n≥4时，＞Sn+1.

1）由已知得,

又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2,∴a2=3,a5=9.

∴d= ==2，a1=1.∴an="2n-1.                          " 2分

∵Tn=1-bn，∴b1=，

当n≥2时，Tn-1=1-bn-1,

∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),

化简，得bn=bn-1,

∴{bn}是首项为,公比为的等比数列，

即bn=·=,                                           4分

∴an=2n-1，bn=.                                         5分

(2)∵Sn==n2,

∴Sn+1=（n+1）2，=.                                      6分

以下比较与Sn+1的大小：

当n=1时，=，S2=4，∴＜S2,

当n=2时，=,S3=9,∴＜S3,

当n=3时，=,S4=16,∴＜S4,

当n=4时，=,S5=25,∴＞S5.

猜想：n≥4时，＞Sn+1.                                       8分

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证.

②假设当n="k" (k∈N*,k≥4)时，＞Sk+1,即＞(k+1)2.

那么n=k+1时，

==3·＞3(k+1)2=3k2+6k+3

=(k2+4k+4)+2k2+2k-1＞［(k+1)+1］2

=S(k+1)+1,

∴n=k+1时，＞Sn+1也成立.                                    11分

由①②可知n∈N*,n≥4时，＞Sn+1都成立.                           14分

综上所述，当n=1,2,3时，＜Sn+1,

当n≥4时，＞Sn+1.                                           16分

m值等于36

本试题主要考查了归纳猜想的运用，以及数学归纳法的证明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) 证明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 

证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36

 ； ；；

当n=1,2,3时，

当 。

试题分析：  2分

  4分

以下比较的大小

可验证得：n=1,2,3时，  5分

下用数学归纳法证明：当  9分

综上：当n=1,2,3时，

当  10分

点评：中档题，利用“归纳，猜想，证明”的方法，可以探求得到新的结论。利用数学归纳法及要证明，肯定结论的正确性。利用数学归纳法证明，要注意遵循“两步一结”。

（1）当时，左边

右边，等式成立．

（2）假设当时，等式成立，即

则当时，

由得

代入式，得

右边

即

这就是说，当时等式成立．

根据（1）、（2）可知，对任意，等式成立

在由假设时等式成立，推导当时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：，问题就会迎刃而解

证明与自然数相关的命题一般可以采用数学归纳法来证明，分为两个步骤，来进行。

试题分析：证明（1）当时，左边=，右边=，等式成立.  3分

（2）假设当时，等式成立，即            6分

那么，当时，

这就是说，当时等式也成立.              13分

根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.           14分

点评：解决的关键是正确的运用数学归纳法的思想来对于命题加以证明，属于基础题。

（1），，

（2）有成立。

解：（1）由题得，又，

则，，…………3分

（2）猜想。               …………………………………5分

证明：①当时，，故命题成立。

②假设当时命题成立，即………………………………7分

则当时，，

故命题也成立。                     …………………………………11分

综上，对一切有成立。    …………………………………12分