热门试卷

假设存在a、b、c使

12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）

对于一切n∈N*都成立.

当n=1时，a（b+c）=1；

当n=2时，2a（4b+c）=6；

当n=3时，3a（9b+c）=19.

解方程组 解得

证明如下：

①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立.

②假设n=k（k∈N*）时等式成立，

即12+22+32+…+k2+（k-1）2+…+22+12

=k（2k2+1）；

当n=k+1时，

12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12

=k（2k2+1）+（k+1）2+k2

=k（2k2+3k+1）+（k+1）2

=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2

=（k+1）（2k2+4k+3）

=（k+1）［2（k+1）2+1］.

即n=k+1时，等式成立.

因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N*都成立.

，证明见解析

先猜想，然后再用数学归纳法进行证明.

证明时分两个步骤：第一步，先验证是当n=1时，等式是否成立；

第二步，假设n=k时，等式成立；再证明当n=k+1时，等式也成立，再证明时一定要用上归纳假设.否则证明无效

见解析

证明分两个步骤：一是先验证：当n=1时，等式成立；

二是先假设n=k时，原式成立。再证明当n=k+1时，等成也成立，再证明的过程中一定要用上n=k时的归纳假设

证明：⑴ 当时，左边，右边，即原式成立  ----4分

⑵ 假设当时，原式成立，即  ----6分

当时，

即当时原式也成立，由⑴⑵可知，对任意原等式都成立

（1）Sn=（n∈N*）（2）an=

（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=，

猜想Sn=（n∈N*）.

（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，

当n=k+1时，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.

又∵ak+1=，∴an=.

同证明

证明： 当时，左边，右边，即原式成立

 假设当时，原式成立，即

当时，

即原式成立

证明：①当，左边=3，右边=3，左边=右边

②假设当时，命题成立，

即

则当时

当时命题成立,由（1）、（2）知，命题成立. 

试题分析：  3分

证明：①当，左边=3，右边=3，左边=右边

②假设当时，命题成立，

即

则当时

当时命题成立,由（1）、（2）知，命题成立.  10分

点评：运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点：（1）数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要条件，二者缺一不可，两步均得以证明才具备了充分性。（2）第二步中，证明“当n=k+1时结论也正确”，必须利用归纳假设，即必须用上“当n=k（k∈N※,k≥n0）时结论正确”这一条件。

（1）0       （2）4，9，16         （3）

试题分析：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0

(2）f（1）=1， f(2)=f(1+1)=1+1+2=4  f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9  f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16  

（3）猜想f（n）=，下用数学归纳法证明之．

当n=1时，f（1）=1满足条件

假设当n=k时成立，即f（k）=

则当n=k+1时f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=+1+2k=（k+1）

从而可得当n=k+1时满足条件

对任意的正整数n，都有 f（n）=

点评：本题目主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及数学归纳法在证明数学命题中的应用，及利用放缩法证明不等式等知识的综合．