热门试卷

根据已知，a2=，a3==，a4=，

猜测an=．…（3分）

证明：①当n=1时，由已知，左边=，右边==，猜想成立．…（4分）

②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=，…（5分）

那么，ak+1=ak=•===，…（7分）

所以，当n=k+1时，猜想也成立．

根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（8分）

（1）a0=1，a1=a0(4-a0)=，a2=a1(4-a1)=．

（2）用数学归纳法证明：

1°当n=0时，a0=1，a1=，∴a0＜a1＜2，命题正确．

2°假设n=k时，有ak-1＜ak＜2．

则n=k+1时，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak)．

而ak-1-ak＜0，4-ak-1-ak＞0，∴ak-ak-1＜0．

又ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]＜2，∴n=k+1时命题正确．

由1°、2°知，对一切n∈N，有an＜an+1＜2．

(1) ,;(2) ,证明过程见试题解析.

试题分析：（1）由已知得，令得，可得，又，令得，可得，依次分别求得其余各项； (2)由（1）中结果，易猜想出，用数学归纳法证明中，当时，需证，方可得结论成立.

解：（1）由已知条件得,

由此算出,

.

（2）由（1）的计算可以猜想,

下面用数学归纳法证明：

①当时，由已知可得结论成立,

②假设当时猜想成立，即．

那么，当时,

,

,

因此当时，结论也成立．

当①和②知，对一切，都有成立．    12分

（Ⅰ）由已知f(1)=S2=1+=，f(2)=S4-S1=++=，f(3)=S6-S2=+++=；（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）

下面用数学归纳法证明：

（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）

（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即f(k)=+++＜1，那么f(k+1)=+++++=(++++)++-＜1+(-)+(-)=1++=1--＜1，

所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）

所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）

证明：当n=1时，a2=1+=，a1＜a2，所以n=1时，不等式成立．

假设n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1成立，则n=k+1时，

ak+2-ak+1= 1+-ak+1

=1+-(1+)

=-

=＞0；

即ak+2-ak+1＞0，

所以n=k+1时，不等式也成立．

综上所述，不等式an＜an+1(n∈N*)成立．

当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，

当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，

根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64

即nn+1＞（n+1）n成立．

②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：＞1

则当n=k+1时，=(k+1)•()k+1＞(k+1)•()k+1=＞1

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，

∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

证明：①当n=2时，结论成立；

②假设n=k（k＞1，k∈Z）时，不等式成立；

当n=k+1时，左边 ＜2-+，

下证：2-+＜ 2-

即证：-+＜ 0，

即证＜ ，⇔k+1＞k，这个是显然成立的，

得结论成立，即当n=k+1时，不等式成立，

由①②根据归纳原理，不等式成立．

即得证．

试题分析：先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.

解：取和2 得解得          4分

即

以下用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证         6分

（2）假设当n=k，时等式成立

即         8分

那么，当时有

          10分

          12分

就是说，当时等式成立          13分

根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立         15分

见解析

+++…+<1.

理由如下:

∵f'(x)=x2-1,an+1≥f'(an+1),

∴an+1≥(an+1)2-1.

令g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,

由此猜想:an≥2n-1.

下面用数学归纳法证明这个猜想:

①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;

②假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即ak≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.

由①②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1,

即1+an≥2n,∴≤,

∴+++…+≤+++…+==1-()n<1.

【方法技巧】“归纳——猜想——证明”类问题的一般解题思路

通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式.

见解析

①当n=1时,左边==,右边==,

左边=右边,等式成立;

②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,

即++…+=,

当n=k+1时,左边

=++…+

+

=+

=

=

=,

所以当n=k+1时,等式成立.

由①②可得对任意n∈N*,等式成立.

证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+≥1．

因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．

下面用数学归纳法证明不等式bn≤．

（1）当n=1时，b1=-1，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤．

那么bk+1=|ak+1-|=

bk≤．

所以，当n=k+1时，不等式也成立．

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．

所以Sn=b1+b2+…+bn≤（-1）++…+=（-1）•＜（-1）•=．

故对任意n∈N*，Sn＜．

见解析

①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－1·(2＋1)＝－3，

故原式成立．

②假设当i＝m时，等式成立，即Sm(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．

则当i＝m＋1时，

S(m＋1)[2(m＋1)＋1]＝S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．

综合①②得：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．

（1）见解析（2）见解析

(1)f(x)＝x－xlnx，f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．

(2)(用数学归纳法)①当n＝1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＞a1.

由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＜f(1)＝1，即a1＜a2＜1成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1＜1成立，

即0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

那么当n＝k＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

得f(ak)＜f(ak＋1)＜f(1)，而an＋1＝f(an)，则ak＋1＝f(ak)，ak＋2＝f(ak＋1)，即ak＋1＜ak＋2＜1，也就是说当n＝k＋1时，an＜an＋1＜1也成立．

由①②可得对任意的正整数n，an＜an＋1＜1恒成立．