热门试卷

见解析

(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，

∴当n＝2时，命题成立．

(2)假设n＝k，∈N＋，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，

那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝ (k＋1)[(k＋1)－1]，

这表明，当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)、(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．

（1）证明见解析。

（2）证明见解析。

（3）

由

（1）用数学归纳法证明：

于上当n=k+1时，结论仍成立，根据（i）（ii）知（1）成立          …………4分

是增函数，（）是减函数，

且                                             …………8分

成立，即结论成立      …………9分

（3）由（2）知，……11分

即

又

                                                 …………14分

试题分析：根据给出的式子的规律总结出能得到的不等式的通式证明则需要运用数学归纳法．

根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：

用数学归纳法证明如下：

(1)当n="1" 时,猜想成立．

(2)假设当时猜想成立，即

则当时，

这就说明猜想也成立，由（1）（2）知，猜想对一切都成立．

证明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．

当n=2时，（1+x）2+（1-x）2=2+2x2＜4=22，当n=2时成立

假设n=k时成立，即（1+x）k+（1-x）k＜2k成立

当n=k+1时，则：（1+x）k+1+（1-x）k+1=（1+x）k×（1+x）+（1-x）k×（1-x）=（1+x）k+x（1+x）k+（1-x）k-x（1-x）k＜2k+x[（1+x）k-（1-x）k]

=2k+x（2Ck1x+2Ck3x3+…）=2k+（2Ck1+2Ck3+…）=2k+2k=2k+1，

故当n=k+1时，不等式也成立

综上知：（1+x）n+（1-x）n＜2n，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立

猜想1+++…+＞

证明：（1）当n=1时，成立；

（2）假设n=k时，成立，即1+++…+＞，

则n=k+1时，左边=1+++…+++…+＞ ++…+，其中+…+共有2k项，+…+＞ ＞=，

所以1+++…+++…+＞++…+＞，即n=k+1时，成立，

由（1）（2）可知，结论成立．

（1）=，=，=；（2）=；（3）见解析.

本试题主要考查了数列的通项公式的求解和数学归纳法的运用。

解：（1）=，=，=…………… 5分

（2）=……………10分

（3）当n=1时，显然成立

假设n=k时成立，即=，则当n=k+1时，由

得

 化简得

即当n=k+1时亦成立

所以=即对成立。……………15分

（1），，；（2）猜想：对一切，，证明详见解析.

试题分析：（1）由的公式分别计算出时的及的值，进而可得比较它们的大小关系；（2）用数学归纳法证明，由（1）可知，时，不等式显然成立，接着假设时不等式成立，进而只须证明时不等式也成立即可，在证明时，又只须将变形为，之后只须用比较法比较判断与大小，即可证明本题.

（1） 当时，，，所以             1分

当时，，，所以               2分

当时，，，所以             4分

（2） 由（１），猜想，下面用数学归纳法给出证明           6分

①当时，不等式显然成立                       7分

②假设当时不等式成立，即          9分

那么，当时，          11分

因为 14分

所以      15分

由①、②可知，对一切，都有成立      16分.

（1）由原递推式得到an+1=，a2==(t2-1)，a3==

猜想得到an=…（3分）

下面用数学归纳法证明an=

10当n=1时   a1=t-1   满足条件

20假设当n=k时，ak=

则ak+1(+tk-1)=(tk+1-1)，∴ak+1•=，∴ak+1=

即当n=k+1时，原命题也成立．

由10、20知an=…（7分）

（2）an+1-an=-=[n(tn+1-1)-(n+1)(tn-1)]=[ntn(t-1)-(tn-1)]=[ntn-(tn-1+tn-2+…+t+1)]

而ntn-（tn-1+tn-2+…+t+1）=（tn-tn-1）+（tn-tn-2）+…+（tn-t）+（tn-1）=tn-1（t-1）+tn-2（t2-1）+tn-3（t3-1）+…+t（tn-1-1）+（tn-1）=

故t＞0，且t≠1时有an+1-an＞0，即an+1＞an…（13分）

解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，

x≠0时，证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；

当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，

因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，

则当m=k+1时，∵x＞-1，

∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得

（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，

所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．

（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得(1-

1

n+3

)m≥1-＞0，

于是(1-)n≤(1-)nm=[(1-

1

n+3

)n]m＜()m，m=1，2，n．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n≥6时，(1-)n+(1-)n++(1-)n＜+()^++()n=1-＜1，∴()n+()n++()n＜1．

即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．

故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：

当n=1时，3≠4，等式不成立；

当n=2时，32+42=52，等式成立；

当n=3时，33+43+53=63，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；

当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．

综上，所求的n只有n=2，3．

解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当x＞-1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx． ①

（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立；

（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时，

因为x＞-1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．

于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，

所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立．

综上所述，所证不等式成立．

（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵(1-)n＜，

∴[(1-

1

n+3

)m]n＜()m，

而由（Ⅰ），(1-)m≥1-＞0，

∴(1-)n≤[(1-

1

n+3

)m]n＜()m．

（Ⅲ）假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，

即有()n0+()n0++()n0=1． ②

又由（Ⅱ）可得()n0+()n0++()n0

=(1-)n0+(1-)n0++(1-)n0＜()n0+()n0-1++=1-＜1，与②式矛盾．

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．

下同解法1．

由猜想

本小题要先通过给n赋值1,2,3,4,5,根据求出的结果，再归纳规律，猜出sn的表达式.

证：首先，xn+1-xn=-xn=，

由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1，2，…）

所以，xn+1-xn与1-xn2的符号相同．

①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1-xn2＞0（n∈N）

显然，n=1时，1-x12＞0

设n=k时1-xk2＞0，那么当n=k+1时

1-=1-[]2=＞0，

因此，对一切自然数n都有1-xn2＞0，

从而对一切自然数n都有xn＜xn+1②若x1＞1，

当n=1时，1-x12＜0；

设n=k时1-xk2＜0，那么当n=k+1时

1-=1-[

xk(

x2k

+3)

3

x2k

+1

]2=＜0，

因此，对一切自然数n都有1-xn2＜0，

从而对一切自然数n都有xn＞xn+1

,推测,证明过程详见解析.

试题分析：计算的值可以推出，利用数学归纳法可以证明，首先验证n=1时，结论成立，接下来假设n=k()时结论成立，即有，最后只需证明n=k+1时，结论也成立，利用即可得证.

，

∴推测

①n=1时，左边=，右边= ，左边=右边，所以等式成立        6分

②假设n=k时等式成立，即有，

则当n=k+1时，

所以当n=k+1时，等式也成立        13分

由①，②可知，对一切等式都成立        14分.

（1）0，17（2）见解析

(1)f(－1)＝0，f(2)＝17

(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数．

①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝k5＋k4＋k3－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)

＝＋

＋－(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.

根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数．

∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．

由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．

(Ⅰ)当n＝0时，f(0)＝0是整数

(Ⅱ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(Ⅰ)知f(m)是整数，

所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－(－m)

＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数．

综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．