数学归纳法证明不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{an}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较an与n2+1的大小，证明你的结论．

正确答案

（Ⅰ）∵a1=2，

∴a2=λa1+λ2+2（2-λ）=λ2+4，

同理可得，a3=2λ3+8，

a4=3λ4+16，

猜想an=（n-1）λn+2n．

（Ⅱ）假设数列{an}是等比数列，

则a1，a2，a3也成等比数列，

∴a22=a1•a3⇒（λ2+4）2=2（2λ3+8）⇒λ4-4λ3+8λ2=0，

∵λ≠0，∴λ2-4λ+8=0，即（λ-2）2+4=0，

但（λ-2）2+4＞0，矛盾，∴数列{an}不是等比数列．

（Ⅲ）∵λ=1，∴an=（n+1）+2n，

∴an-（n2+1）=2n-（n2-n+2），

∵当n=1，2，3时，2n=n2-n+2，

∴an=n2+1．

当n≥4时，猜想2n＞n2-n+2，

证明如下：当n=4时，显然2k＞k2-4+2

假设当n=k≥4时，猜想成立，即2k＞k2-k+2，

则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（k2-k+2），

∵2（k2-k+2）-[（k+1）20-（k+1）+2]

=（k-1）（k-2）＞0

∴2k+1＞2（k2-k+2）＞（k+1）2-（k+1）+2，

∴当n≥4时，猜想2n＞n2-n+2成立，

∴当n≥4时，an＞n2+1．

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题型：简答题

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简答题

证明不等式1+++…+＜2（n∈N*）

正确答案

证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；

（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+++…+＜2，

则

∴当n=k+1时，不等式也成立．

综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+++…+＜2．

证法二：设f（n）=2-(1+++…+)，

那么对任意k∈N* 都有：

∴f（k+1）＞f（k）

因此，对任意n∈N* 都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，

∴1+++…+＜2．

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题型：填空题

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填空题

已知f（n）=1+++L+（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞时，f（2k+1）-f（2k）等于______．

正确答案

因为假设n=k时，f（2k）=1+++…+，

当n=k+1时，f（2k+1）=1+++…+++…+

∴f（2k+1）-f（2k）=++…+

故答案为：++…+

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题型：简答题

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简答题

已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+，n=1，2，…。

（1）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=（将A用a表示）；

（2）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：；

（3）若|bn|≤对n=1，2，…都成立，求a的取值范围。

正确答案

解：（1）由存在，且，对两边取极限得

，解得

又

∴。

（2）由得

∴

即对n=1，2，3，…都成立。

（3）令，得

∴

∴，解得

现证明当时，对n=1，2，3，…都成立

（i）当n=1时结论成立（已验证）

（ii）假设当n=k（k≥1）时结论成立，即

那么

故只须证明，即证对成立

由于

而当时，

∴

∴，即

故当时，

即n=k+1时结论成立

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立

故对n=1，2，3，…都成立的a的取值范围为。

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=an（4-an），n∈N，

（1）证明an＜an+1＜2，n∈N；

（2）求数列{an}的通项公式an。

正确答案

解：（1）用数学归纳法证明：

1°当n=1时，，

∴，命题正确；

2°假设n=k时有，

则n=k+1时，

而，

∴，

又，

∴n=k+1时命题正确；

由1°、2°知，对一切n∈N时有。

（2）下面来求数列的通项：，

所以，

令，

则，

又bn=-1，

所以，即。

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}满足an+1=a22-nan+1，n∈N*。

（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

（2）当a1≥2时，证明n∈N*，有an≥n+1。

正确答案

解：（1）由a1=2，得a2=a21-a1+1=3，

由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4，

由a3=4，得a4=a23-3a3+1=5

由此猜想an的一个通项公式为：an=n+1（n∈N*）。

（2）证明：①当n=1时，a1≥2，不等式成立

②假设当n=k（k∈N*且k≥1）时不等式成立，即ak≥k+1，

那么当n=k+1时，

ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2，

也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+1

根据①和②，对于所有n∈N*，都有an≥n+1。

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-+2（n∈N*）。

（1）令bn=2nan，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。

（2）令，Tn=c1+c2+…+cn，试比较Tn与的大小，并予以证明。

正确答案

解：（1）在中，令n=1，可得，

，即

当时，，

∴

即

∵

∴

即当时，

又

∴数列是首项和公差均为1的等差数列

于是

∴。

（2）由（1）得，

所以 ①

②

由①-②得

∴

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由

可猜想当时，证明如下：

（i）当n=3时，成立。

（ii）假设时

所以当时猜想也成立

综合（i）（ii）可知，对一切的正整数，都有

∴＞0

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题型：简答题

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简答题

在数列{an}和{bn}中，a1=1，b1=2，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*），

（1）求a2，a3，a4和b2，b3，b4；

（2）猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（3）求证：（n∈N*）。

正确答案

解：（1）；

（2）猜想：；

用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1时，结论显然成立；

（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，

当n=k+1时，，

，

所以当n=k+1时，结论也成立；

综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都成立；

（3）欲证，

即证，

下面用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1时，左=，不等式显然成立；

（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，

当n=k+1时，，

而，

所以，

即，

则n=k+1时不等式也成立；

综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都有，

亦即。

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题型：简答题

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简答题

已知二次函数y=x2，现取x轴上的点，分别为A1(1，0)，A2(2，0)，A3(3，0)，…，An(n，0)，…，过这些点分别作x轴垂线，与抛物线分别交于A′1，A′2，A′3，…，A′n…，记由线段A′nAn，AnAn+1，An+1A′n+1及抛物线弧A′n+1A′n所围成的曲边梯形的面积为an，

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)作直线y=与A′nAn(n =1，2，3，…)交于Bn，记新的曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1，面积为bn，求的前n项和Sn；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，作直线y=x，与A′nAn(n=1，2，3，…)交于Cn，记Rt△Cn+1An+1An面积与曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1面积之比为Pn，求证：P1+。

正确答案

解：(Ⅰ)；

(Ⅱ)依题意，，

，

∴，

∴。

(Ⅲ)记直角三角形Cn+1An+1An面积为dn，

则，

∴，

原式即证：，

用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=1，右边=lna，左边＞右边，命题成立；

②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，命题成立，

即，

当n=k+1时，，

下证：

构造函数，

，∴f（x）在单调递增，

所以当时，，∴x＞ln（1+x），

∵，

∴，

故命题对n=k+1时也成立，

由①②得，对任意n∈N*都成立，故原命题成立。

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题型：简答题

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简答题

数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。

（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；

（Ⅱ）若a1=，求证：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减。

正确答案

（Ⅰ）解：因为数列为常数列，

所以，，

，

由n的任意性知，或。

（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明，

①当n=1时，，符合上式；

②假设当n=k（k≥1）时，，

因为，所以，即，

从而，即，

因为，

所以，当n=k+1时，成立，

由①，②知，。

（Ⅲ）证明：因为

（n≥2），

所以只要证明，

由（Ⅱ）知，，

所以只要证明，

即证明，

令，

，

所以函数f(x)在R上单调递增；

因为，

所以，，即成立，

故，所以数列单调递减。

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题型：简答题

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简答题

在数列{an}中，a1=1，an+1=1-，bn=，其中n∈N*，

(Ⅰ)求证：数列{bn}为等差数列；

(Ⅱ)求证：。

正确答案

证明：（Ⅰ），

∴数列{bn}为等差数列。

（Ⅱ）因为，

所以，

原不等式即为证明，

即成立，

用数学归纳法证明如下：

当n=2时，成立，所以n=2时，原不等式成立；

假设当n=k时，成立，

当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，不等式成立；

所以对n∈N*，n≥2，总有成立。

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}的公差d>0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-bn。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由。

正确答案

解：（1）由，

又∵的公差d大于0，

∴，

从而，，

∴。

又已知，令n=1，得，

∴，

由，当n≥2时，，

两式相减，得，（n≥2），

∴。

（2）∵，

∴，，

以下比较与的大小：

当n=1时，，；

当n=2时，，；

当n=3时，，；

当n=4时，，；

猜想：n≥4时，，

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证；

②假设n=k（k∈N*，k≥4）时，，即，

那么，n=k+1时，

，

∴n=k+1时，也成立，

由①②可知，n∈N*，n≥4时，；

综上所述，当n=1，2，3时，；当n≥4时，。

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题型：简答题

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简答题

等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点均在函数（且，b，r均为常数）的图像上。

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记，证明：对任意的，不等式成立。

正确答案

（1）解：；

（2）证明：当b=2时，，，

则，

所以，

下面用数学归纳法证明不等式成立。

①当n=1时，左边=，右边=，因为，所以不等式成立；

②假设当时，不等式成立，即成立，

则当时，下面证明时，不等式：成立，

左边=

，

所以当时，不等式也成立。

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}满足an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，

（Ⅰ）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

（Ⅱ）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有

（ⅰ）an≥n+2；

（ⅱ）。

正确答案

解：（Ⅰ）由，得；

由，得；

由此猜想an的一个通项公式：。

（Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明：

①当，不等式成立；

②假设当n=k时不等式成立，即，

那么，，

也就是说，当n=k+1时，，

根据①和②，对于所有n≥1，有。

（ⅱ）由及（ⅰ），对k≥2，

有，

∴，

于是，

。

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题型：简答题

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简答题

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，

（1）求r的值；

（2）当b=2时，记bn=2（log2an+1）（n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式成立。

正确答案

解：（1）因为对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，

所以得，

当n=1时，，

当n≥2时，，

又因为{an}为等比数列，所以r=-1，公比为b，。

（2）当b=2时，，，

则，

所以，

下面用数学归纳法证明不等式成立，

①当n=1时，左边=，右边=，因为＞，所以不等式成立；

②假设当n=k时不等式成立，即成立，

则当n=k+1时，

左边=

，

所以当n=k+1时，不等式也成立；

由①、②可得不等式恒成立。

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