热门试卷

解：（1）将条件变为：

因此一个等比数列，其首项为，公比

从而

据此得 ①；

（2）据①得

为证a1·a2·…an＜2·n！

只要证n∈N*时有 ②

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有  ③

用数学归纳法证明③式：

（i）n=1时，③式显然成立，

（ii）设n=k时，③式成立

即

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，③式也成立

故对一切n∈N*，③式都成立。

利用③得

故②式成立，从而结论成立。

(Ⅰ)证明：∵数列{an}中，，

当n≥2时，3an+1=4an-an-1(n∈N*)，

∴当n≥2时，，

即，

所以，是以为首项，以为公比的等比数列。

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，

故

，

累加，得，

所以，。

 (Ⅲ)解：若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，

即在n∈N*时恒成立，

故需求在n∈N*上的最小值，

先证n∈N*时有，

显然，左边每个因式都是正数，先证明对每个n∈N*，有

，

用数学归纳法证明上式，

(ⅰ)n=1时，上式显然成立；

(ⅱ)假设n=k时，结论成立，

即，

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，结论也成立；

故对一切n∈N*，

成立，

所以，

，

∵，

易知，

故，

而在n∈N*时恒成立且λ∈N*，

所以，λ的最小值为2。

解：（1）∵f′（x）=，令h（x）=x2﹣2x+m，△=（﹣2）2﹣4m，

当△≤0，即m≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；

当△＞0，即m＜1时，f′（x）的符号不确定（或大于0，或小于0），

f（x）在定义域内不单调，

∴当f（x）单调递增时，m≥1；当m＜1时，f（x）在定义域内不单调．

∴实数m的取值范围为[1，+∞）；

（2）∵m≥1，

∴当m取得最小值时m=1，

∴a1=3+m=4，

又an+1=f′（）﹣nan+1，n∈N*．

∴an+1=an2﹣nan+1

①用数学归纳法证明：

（I）当n=1时，a1=4＞3=1+2，不等式成立；

（II）假设当n=k时，不等式成立，即ak＞k+2，

那么，ak+1=ak（ak﹣k）+1＞（k+2）（k+2﹣k）+1≥k+3，

也就是说，当n=k+1时，ak+1＞（k+1）+2，

根据（I）和（II），对于所有n≥1，有an≥n+2．

②由an+1=an（an﹣n）+1及①，对k≥2，有

ak=ak﹣1（ak﹣1﹣k+1）+1≥ak﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1=2ak﹣1+1

∵1+ak≥2（ak﹣1+1），

由等比数列的通项公式可得：ak≥2k﹣1（a1+1）﹣1，

于是＜（k≥2），

∴++…+＜＜==．

解：（1）用数学归纳法证明：

（i）当时，原不等式成立；

当时，左边，右边，

因为，

所以左边≥右边，原不等式成立；

（ii）假设当时，不等式成立，即，

则当时，

∵，

∴，

于是在不等式两边同乘以得，

所以

即当时，不等式也成立

综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立。

（2）当时，由（1）得

于是，。

（3）解：由（2），当时，

，

∴

即

即当时，不存在满足该等式的正整数n

故只需要讨论的情形：

当时，，等式不成立；

当时，，等式成立；

当时，，等式成立；

当时，为偶数，而为奇数，

故，等式不成立；

当时，同的情形可分析出，等式不成立

综上，所求的n只有。

(Ⅰ)证明：∵数列{an}中，，

当n≥2时，3an+1=4an-an-1(n∈N*)，

∴当n≥2时，，

即，

所以，是以为首项，以为公比的等比数列。

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，

故

，

累加，得，

所以，。

 (Ⅲ)解：若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，

即在n∈N*时恒成立，

故需求在n∈N*上的最小值，

先证n∈N*时有，

显然，左边每个因式都是正数，先证明对每个n∈N*，有

，

用数学归纳法证明上式，

(ⅰ)n=1时，上式显然成立；

(ⅱ)假设n=k时，结论成立，

即，

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，结论也成立；

故对一切n∈N*，

成立，

所以，

，

∵，

易知，

故，

而在n∈N*时恒成立且λ∈N*，

所以，λ的最小值为2。

解：（1）设{an}的首项为a1，

∵a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，

∴

∴an=2n﹣1

n=1时，

∴

n≥2时，，，

两式相减得 数列是等比数列，

∴

（2）∵Sn==n2，

∴S n+1=（n+1）2，=．

以下比较与S n+1的大小：

当n=1时，=，S2=4，∴＜S2，

当n=2时，=，S3=9，∴＜S3，

当n=3时，=，S4=16，∴＜S4，

当n=4时，=，S5=25，∴＞S5．

猜想：n≥4时，＞S n+1．

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证．

②假设当n=k （k∈N*，k≥4）时，＞S k+1，即＞（k+1）2．

那么n=k+1时，==3＞3（k+1）2=3k2+6k+3

=（k2+4k+4）+2k2+2k﹣1＞[（k+1）+1]2=S（k+1）+1，

∴n=k+1时，＞S n+1也成立．

由①②可知n∈N*，n≥4时，＞Sn+1都成立，

综上所述，当n=1，2，3时，＜S n+1；当n≥4时，＞Sn+1．

解：（1）由，

又∵的公差d大于0，

∴，

从而，，

∴。

又已知，令n=1，得，∴，

由，当n≥2时，，

两式相减，得，（n≥2），

∴。

（2）∵，

∴，，

以下比较与的大小：

当n=1时，，；

当n=2时，，；

当n=3时，，；

当n=4时，，；

猜想：n≥4时，，

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证；

②假设n=k（k∈N*，k≥4）时，，即，

那么，n=k+1时，

，

∴n=k+1时，也成立，

由①②可知，n∈N*，n≥4时，；

综上所述，当n=1，2，3时，；当n≥4时，。

（Ⅰ）证明：由，得

，      ①

，   ②

∴，即，且，

∴数列是首项为，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，

∴，

由得，

易知是关于n的减函数，

∴，解得：。

（Ⅲ）解：由，得，

∴，

∴，

下面用数学归纳法证明不等式：

若为正数，则（*）

1o当n=2时，∵，

∴；

2o假设当n=k(k≥2)时，不等式成立，即若x1，x2，……，xk为正数，

则，

那么，

这就是说当n=k+1时不等式成立。

根据不等式（*）得：

，

∴。

（1）当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，

当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，

（2）根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64

即nn+1＞（n+1）n成立．

②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：＞1

则当n=k+1时，=(k+1)•()k+1＞(k+1)•()k+1=＞1

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，

∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

证明：记（n∈N*，n＞1），

（1）当n=2时，，不等式成立；

（2）假设n=k（k∈N*，k≥2）时，不等式成立，

即，

则当n=k+1时，

有，

∴当n=k+1时，不等式也成立；

综合（1），（2）知，原不等式对任意的n∈N*（n＞1）都成立。

解：当n=1时，，

即，即<26，

又∈N*，

∴取=25，

下面用数学归纳法证明：，

（1）当n=1时，已证。

（2）假设当n=k时，成立，

则当n=k+1时，有

，

∵，

∴成立；

由（1）、（2）可知，对一切n∈N*，都有不等式成立。　

∴的最大值为25。

证明：∵a，b为正数，∴不等式等价于

当a≥b时，a-b≥0，an≥bn，即bn-an≤0，∴(a-b)( bn-an)≤0， 　

当a＜b时，a-b＜0，an＜bn，即bn-an＞0，∴(a-b)( bn-an)＜0，

因此≤0

即

∴原不等式成立。