热门试卷

（1）数列的前5项是：，．（2）见解析.

(1)本小题根据题意可得，分别令n=2,3,4,5不难求解。

(2)由(1)中的前5项，不难归纳出,然后再采用数学归纳法进行证明。

要分两个步骤来进行：第一步验证：当n=1时，式子成立；

第二步：先假设n=k时，等式成立，再证明n=k+1时，等式也成立，在证明过程中必须要用上归纳假设。

（1）由已知，，分别取，

得，，

，

，

所以数列的前5项是：，．-----------4分

（2）由（1）中的分析可以猜想．————————————6分

下面用数学归纳法证明：

①当时，公式显然成立．

②假设当时成立，即，那么由已知，

得，

即，

所以，即，

又由归纳假设，得，

所以，即当时，公式也成立．—————————10分

由①和②知，对一切，都有成立．------------------12分

（1），；（2）见解析.

本试题主要考查了数列的归纳擦想以及数学归纳法的运用。

解：利用递推关系我们由首项依次可知得到：

（1） 并归纳猜想结论为        

（2）证明

。

综上可知，对于所有的正整数n都成立。

n∈N＋时，An<Bn成立

当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A1<B1；

当n＝2时：A2＝8，B2＝9，有A2<B2；

当n＝3时：A3＝18，B3＝27，有A3<B3.

由上可归纳出当n∈N＋时，都有An<Bn.

下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：

(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时不等式成立，即2k2<3k，

则3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.

由于2k2≥4k (k≥2)，2k2>2，

所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．

综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有An<Bn成立．

综上可知n∈N＋时，An<Bn成立．

（1） ， 又，

，，  （2）猜想 下面用数学归纳法证明（略）

试题分析：（1） ，  又，

，，  

（2）猜想 下面用数学归纳法证明：

1°当n=1时，，猜想正确；

2°假设当n=k时，猜想正确，即，

那么，n=k+1时，由，猜想也成了，

综上知，对一切自然数n均成立。

点评：中档题，涉及数列中的关系，确定数列的特征，往往要建立两式，相减或相除等。利用数学归纳法证明问题，要注意其步骤规范，做好“两步一结”。

详见解析

试题分析：根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可.

试题解析：解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：

．            5分

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，猜想成立；         6分

（2）假设当时，猜想成立，即，     7分

则当时，

，

即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．          .12分

（1）

（2）猜想：  下面用数学归纳法证明：

见解析。

本试题主要是考查了数列的归纳猜想的数学思想的运用，以及运用数学归纳法来证明与自然数相关的命题的运用。注意n=k和n=k+1式子的变换，同时要用到假设，这是证明中最关键的 两步。

解：（1）

（2）猜想：  下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，，已知，显然成立

②假设当时 ，猜想成立，即, 则当时，

即对时，猜想也成立,由①②可得成立

S＝，S＝，S＝，S＝。证明见解析

根据已知条件先求解前几项，然后归纳猜想得到结论，并运用数学归纳法分为两步骤来进行，注意要用到假设以及n=k,n=k+1之间的变化的综合运用。

解：S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝(n∈N)

①当n＝1时，等式显然成立；

②假设当n＝k时等式成立，即：S＝，

当n＝k＋1时，S＝S＋＝＋

=＝＝,

即n＝k＋1时等式也成立.综上①②，等式对任何n∈N都成立.

，见解析.

本试题考查了抽象函数式的运用。若存在常数使等式成立，则将代入上式可以得到a,b,的关系式，得，即有

然后证明对于一切成立，运用数学归纳法可得。

解：若存在常数使等式成立，则将代入上式，有

得，即有

对于一切成立………4分

证明如下：

(1)当时，左边=，右边=，所以等式成立   …………6分

(2)假设时等式成立，即

当时，

=

==

==

也就是说，当时，等式成立，                     …………11分

综上所述，可知等式对任何都成立。                …………12分

见解析

证明：(1)当n=2时，

(2)假设当n=k时成立，即

m值等于36

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36

（1）第个等式：，第个等式：，第个等式：；（2）详见解析.

试题分析：（1）通过观察前4个等式的特征不难得到第个等式，同过归纳，也易猜测第（）个等式、不过这里涉及到正负号问题，这个问题经常通过或来调控；（2）首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，如何利用假设呢？就是要创造假设所具备的条件，那才会有假设所具有的结论，故有“凑假设”一说.

试题解析：（1）第个等式：                 2分

第个等式：                      4分

第个等式：           6分

（2）证明：（1）当时，左边， 右边，左边右边，等式成立.   8分

（2）假设（）时，等式成立，即.

那么当时，

∴当时，等式也成立.

根据（1）、（2）可知，对于任何等式均成立．                        14分