热门试卷

（1）bn=3n－2（2）当a＞1时，Sn＞logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1

设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2

(2)证明：由bn=3n－2知

Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)

=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…

(1+)与的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*)

①当n=1时，已验证(*)式成立.

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

则当n=k+1时，

,即当n=k+1时，(*)式成立

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1

（1），，；（2）见解析.

第一问利用由，得，而、

所以，只有类似可得，，

第二问（i）当时，易知，为奇数；

（ii）假设当时，，其中为奇数；

则当时，

所以，

解（1）由，得，而、

所以，只有，………………………2分

类似可得，，…………………………5分

（2）证：（用数学归纳法证明）

（i）当时，易知，为奇数；……………………7分

（ii）假设当时，，其中为奇数；……………………8分

则当时，

，

所以，                                      ……………………11分

又、，所以是偶数，

而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.                   ……………………14分

综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数． -----------------------------15分

（1）=10

（2） =

通过观察可知f(3)=10.

(2)在求f(n)时，可以观察归纳出f(n)的递推关系,

然后再采用叠加求通项的方法求出.

（1）a2=－ a3=－ a4=－

（3）S=Sn=0

∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)                      

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

同理可得：a4=－,由此可推出：an=

(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.

②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

故Sk2=－·(Sk－)

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

∴Sk= (舍)

由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

由①②知，an=对一切n∈N成立.

(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0

（1）；（2）；（3）

本试题主要是考查了数列的通项公式和前n项和的关系的运用。

（1）因为对于n令值可知，首项的值以及第n项与前n项和之间的关系式得到结论。

（2）进而归纳猜想结论，并运用数学归纳法加以证明，注意n=k，n=k+1的式子的变化以及假设的运用。

（1），，；（2）见解析.

(1)先确定,然后要以先求出a1,进而可以求出a2,a3;

(2)根据第（1）求出的结果进行猜想.然后再利用数学归纳法证明时两个步骤缺一不可. 

解： （1）由题意，                     

当时，， ∴ ；           

当时，，  ∴ ；     

当时，,   ∴ ； 

（2）猜想：.                      

证明：①当时，由（1）可知等式成立；            

②假设时等式成立，即：，

则当时，，

∴，  ∴， 

即时等式也成立.                            

综合①②知：对任意均成立.  

（Ⅰ）..，.  

（Ⅱ）见解析.

（I），分别令n=1,依次可求出.

(II) 用数学归纳法证明时，（1）要先验证n=1时，成立.

（2）要先假设n=k时，成立，再证明n=k+1时，也成立，但必须要用到n=k时的归纳假设否则证明无效.

解：（Ⅰ）当时，，所以.

当时，，所以.

同理：，.………3分

由此猜想    …………………………………………………5分

（Ⅱ）证明：①当时，左边，右边，结论成立.

②假设时，结论成立，即，………6分

那么时，

，…8分

所以，

所以，

这表明时，结论成立.

由①②知对一切猜想成立.      ……………………………13分

详见解析

试题分析：由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知:第一步应验证初值时不等式成立;第二步进行归纳假设:假设当时所证不等式成立,在此基础上来证明当时所证不等式也成立;特别注意在证时一定要用到时的结论;第三步下结论:在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等式对一切都成立.

试题解析：证明：（1）当时， ， 命题成立。

（2）假设当时， 成立

当时，

+

当时命题成立。

所以对于任意都成立.

21.解：（1） 当时，，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以．………3分

（2）由（１），猜想，下面用数学归纳法给出证明：

①当时，不等式显然成立．

②假设当时不等式成立，即，....6分

那么，当时，，

因为，

所以．

由①、②可知，对一切，都有成立．………………12分

略