热门试卷

－1＜q＜0或0＜q＜

∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,

∴q≠0,a2=－,

∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

两式相除，得,即an+2=q·an

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…)

综合①②，猜想通项公式为an=

下证：(1)当n=1,2时猜想成立

(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

设n=2k时，a2k=－qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k,

所以a2k+2=－qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

这样所求通项公式为an=

S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)

=2(1+q+q2+…+qn-1)－ (q+q2+…+qn)

由于|q|＜1,∴=

依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

由，

当n=2时，由①得 ，

当n=3时，由①得  ，

猜想  n="1,2,3…" 证明见解析。

本试题主要是考查了数列的前n项和的表达式的求解和证明的综合运用。

（1）根据已知条件，对n令值，得到前几项的和，然后归纳猜想。

（2）运用数学归纳法加以证明，分为两步骤，注意要用到假设。

证明：             

当n=1时，  

当n≥2时，，

代入（*）式得①            ……（3分）

当n=2时，由①得    ……（4分）

当n=3时，由①得    ……（5分）

可以看到上面表示的三个结果的分数中，分子与项数一致，分母是项数加1，

由此猜想  n=1,2,3…             ……（6分）

下面用数学归纳法证明这个猜想：

（1）当n=1时已知猜想成立                        ……（7分）

（2）假设n=k时猜想成立，即

则当n=k+1时，由①得

这就是说，当n=k+1时，猜想也成立             ……（10分）

根据（1）和（2），可知对所有正整数n都成立  ……（12分）

证明见解析

由，得，由，得．

由，得．

由，得．

猜想来．下面用数学归纳法证明猜想正确：

（1）时，左边，右边，猜想成立．

（2）假设当时，猜想成立，就是，此时，

当时，由，得，

．

这就是说，当时，等式也成立，

由（1）（2）可知，对均成立．

(1)  (2)  (3) 要证原不等式，即证因为

所以

=所以

试题分析：（1）由，所以     2分

（2），由，得    3分

                4分

又恒成立，则由恒成立得

，                6分

同理由恒成立也可得:       7分

综上，，所以       8分

（3）

要证原不等式，即证

因为

所以

=

所以                12分

本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：

由

当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立

假设当时，不等式成立，即

当时，

左边=

由

所以

即当时，不等式也成立。综上得

点评：函数求解析式采用的是待定系数法，由已知条件找到的关系式，期间将不等式恒成立问题转化为二次函数性质的考察，第三问在证明不等式时用到了放缩法，这种方法对学生有一定的难度

见解析。

本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。

（1）因为数列的各项均为正数，，，那么利用等差数列的定义可知

，从而得到数列的通项公式。

（（2）要证明对一切恒成立。

与自然数相关的不等式的成立，只要运用数学归纳法证明即可。

（1）由得，所以

（2）①当n=1时，1=1成立；当n=2时，左边<右边；

②假设当n=k时，成立，

那么当n=k+1时，

不等式成立

由①②可得对一切恒成立。

设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

证明见解析。

先令n=1,2,3建立关于a,b,c的三个方程，解出a,b,c的值.然后再证明时，也成立.由于是与n有关的证明问题，可以考虑用数学归纳法进行证明.

设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

于是，对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=

记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)

=［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切正自然数n均成立.

当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立

小题1:证法一：（ⅰ）当时，由已知，等式成立．

（ⅱ）假设当等式成立，即

那么

也就是说，当时，等式也成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）可知

小题2:由通项公式

                     ①

（ⅰ）当时，①式即为

即为                  ②

②式对都成立，有

（ⅱ）当时，

即为               ③

③式对都成立，有

综上，①式对任意成立，有

故的取值范围为

同答案

解：（1）由得可求得，┈5分

由此猜想的通项公式。　┈┈┈7分

（2）证明：①当时，，等式成立；　　　┈┈┈9分

　②假设当时，等式成立，即，　　┈┈┈11分

当时，等式也成立。　　　　　　　　　　┈┈┈13分

由①②可得成立。　　　　　　　┈┈┈15分 

略

略

略

(I)1/2   7/12   1/2  7/12

(II)

本试题主要考查了数列的通项公式的求解和数学归纳法的运用。

解：（1），

，   

（2）猜想： 即：

（n∈N*）

下面用数学归纳法证明

①       n=1时，已证S1=T1 

②       假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

则

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.

（1）彼此最多分割成条线段.   （2）由已知得  

（3）  

（1）利用数学归纳知识归纳出结论；（2）根据相邻项的关系列出关系式；（3）利用叠加法求解数列的通项，然后利用数学归纳法证明即可

（1）彼此最多分割成条线段.            ………………………………4分

（2）由已知得               ………………………………8分

（3）

（1）彼此最多分割成条线段.   （2）由已知得  

（3）  

（1）利用数学归纳知识归纳出结论；（2）根据相邻项的关系列出关系式；（3）利用叠加法求解数列的通项，然后利用数学归纳法证明即可

（1）彼此最多分割成条线段.            ………………………………4分

（2）由已知得               ………………………………8分

（3）

对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，一般的有2n-1，对应各式右端为一般也有.

解：归纳得一般结论

证明：当n=1时，结论显然成立.

当n≥2时，

故结论得证.

，.

故