- 全称量词与存在量词
- 共555题
写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．
（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；
（2）若xy=0，则x=0或y=0；
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数．
正确答案
（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题．
原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题．
（2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题．
原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题．
（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．
原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．
有以下四个命题：
①两直线m，n与平面α所成的角相等的充要条件是m∥n；
②若p：∀x∈R，sinx≤1，则￢P：∃x∈R，sinx＞1；
③不等式10x＞x2在（0，+∞）上恒成立；
④设有四个函数y=x-1，y=x13，y=x12，y=x3，其中在R上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号是______．（漏填、多填或错填均不得分）
正确答案
①当两直线m，n与平面α均平行，且相交时，所成的角相等，均为0度，显然错误
②若p：∀x∈R，sinx≤1，则￢P：∃x∈R，sinx＞1 正确
③根据特称命题的否定判断，可知③正确
④根据幂函数的图象与性质，只有y=x13，y=x3R上是增函数
故答案为：②③
若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
正确答案
逆命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0”是假命题，
如当a=1，b=-3，c=2时，方程x2-3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0
否命题“若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根”是假命题．
这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题
逆否命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题．
因为原命题是真命题，它与原命题等价
下列说法：
①“
②函数y=sin（2x+
③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=-2x。
其中正确的说法是（ ）。
正确答案
①④
命题“∃x∈R，2x2-3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为______．
正确答案
命题“∃x∈R，使2x2-3ax+9＜0成立”是假命题，
即“2x2-3ax+9≥0恒成立”是真命题．
△=9a2-72≤0，解得-2
故答案为：[-2
判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
（1）末尾数是偶数的数能被4整除；
（2）对任意实数x，都有x2-2x-3＜0；
（3）方程x2-5x-6=0有一个根是奇数．
正确答案
（1）该命题是全称命题，（2分）
该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；（2分）
该命题的否定是真命题．（1分）
（2）该命题是全称命题，（2分）
该命题的否定是：存在实数x，使得x2-2x-3≥0；（2分）
该命题的否定是真命题．（1分）
（3）该命题是特称命题，（2分）
该命题的否定是：方程x2-5x-6=0的两个根都不是奇数；（2分）
该命题的否定是假命题．（1分）
给出以下结论：
①∀a、b∈R，方程ax+b=0恰有一个解；
②q∨p为真命题是“p∧q”为真命题的必要条件；
③命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”．
④命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则￢p为∀x∈R，sinx＞1．
其中正确结论的序号是______．
正确答案
①当a=0，b≠0时，方程ax+b=0没有实数解，故①错误
②q∨p为真命题时，“p∧q”不一定为真命题，但是p∧q为真命题时，q∨p一定为真命题，②正确
③根据命题的逆否命题是对条件和结论分别进行否定可知，“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，③错误
④根据特称命题的否定是全称命题可知命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则￢p为∀x∈R，sinx＞1．④正确
故答案为：②④
有下列命题：
①若命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则命题“p∨q”是真命题；
②∃x∈R使得x2+x+2＜0；
③“直线a，b没有公共点”是“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件；
④“a=-1”是“x+ay+6=0和（a-2）x+3y+2a=0平行”的充要条件；
其中正确命题的序号是______（把你认为正确的所有命题的序号都填上）
正确答案
①若命题p：所有有理数都是实数，是真命题；命题q：正数的对数都是负数，是假命题，如1的对数为0，则命题“p∨q”是真命题，故①正确；
②∵方程x2+x+2=0的△＜0，∴x2+x+2＞0恒成立，故∃x∈R使得x2+x+2＜0错误；
③“直线a，b没有公共点”⇔“直线平行或异面”是“直线a，b为异面直线”的必要不充分条件，故③错误；
④“a=-1”时，“x+ay+6=0和（a-2）x+3y+2a=0的斜率相等，截距不等，此时两直线平行”，当“x+ay+6=0和（a-2）x+3y+2a=0平行”时，a（a-2）-3=0，解得a=-1，或a=3（此时两直线重合，舍去），故④“a=-1”是“x+ay+6=0和（a-2）x+3y+2a=0平行”的充要条件正确
故答案为：①④
命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是______命题．（填“真”或“假”之一）
正确答案
命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，显然为假命题．
故答案为假．
（1）“至多一个”的否定为“至少一个”；
（2）“m，n全为0”的否定是“m，n 全不为0”；
（3）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；
（4）“x∈A∩B”的含义是“x∈A且x∈B”．
以上说法，正确的有______．（将正确说法的序号都填上）
正确答案
对于（1）“至多一个”的否定为“至少两个”；故（1）错，
对于（2）“m，n全为0”的否定是“m，n 不全为0”；故（2）错，
对于（3）“am2＜bm2”成立能推出“a＜b”成立；但反之“a＜b”成立当m=0时，推不出“am2＜bm2”，故（3）错，
对于（4））“x∈A∩B”的含义是“x∈A且x∈B”．故（4）对，
故答案为（4）
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