- 全称量词与存在量词
- 共555题
下列命题的否定为假命题的是______．
①∀x∈R，-x2+x-1＜0；
②∀x∈R，|x|＞x；
③∀x，y∈Z，2x-5y≠12；
④∃x∈R，Tsin2x+sinx+1=0．
正确答案
①因为-x2+x-1=-（x-
②当x=0时，|x|=x=0，所以②错误．
③当x=1，y=2时，2x-5y=12，所以③错误．
④设t=sinx，则原方程为t2+t+1=0，因为△=1-4=-3＜0，所以方程无解，所以④错误．
故答案为：①．
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1）a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；
（2）对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；
（3）∃T0∈R，使|sin（x+T0）|=|sinx|；
（4）∃x0∈R，使x\o\al(2，0)+1＜0．
正确答案
（1）、（2）是全称命题，（3）、（4）是特称命题．
（1）∵ax＞0（a＞0，a≠1）恒成立，∴命题（1）是真命题．
（2）存在x1=0，x2=π，x1＜x2，但tan0=tanπ，
∴命题（2）是假命题．
（3）y=|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题（3）为真命题．
（4）对任意x∈R，x2+1＞0，∴命题（4）是假命题．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-3|+|x+1|．
（Ⅰ）求使不等式f（x）＜6成立的x的范围；
（Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，求实数a的取值范围．
正确答案
（I）∵f（-2）=6=f（4），∴由绝对值的几何意义可知x的取值范围为（-2，4）．
（Ⅱ）∃x0∈R，f（x0）＜a，即a＞f（x）min．
由绝对值的几何意义知：|x-3|+|x+1|可看成数轴上到3和-1对应点的距离和．
∴f（x）min=4，即∴a＞4．
所求a的取值范围为（4，+∞）．
在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．
设f(x)=
①∃x0∈[2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为______；
②若∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为______．
正确答案
①f（x）=
∴函数在[2，+∞）上为增函数，∴f（x）≥f（2）=3，
即实数m的取值范围是[3，+∞）；
②由①知，函数f（x）的值域是[3，+∞），又g（x）的值域是[a2，+∞）
∵∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞）使得f（x1）=g（x2），
∴a2≤3
∵a＞1，
∴1＜a≤
故答案为：①[3，+∞）②(1，
给出命题：
①∀x∈（-∞，1），使x3＜1；
②∃x∈Q，使x2=2；
③∀x∈N，有x3＞x2；
④∀x∈R，有x2+4＞0．
其中的真命题是______（填序号）．
正确答案
解①函数y=x3在R上单调递增，∀x∈（-∞，1），x3＜13=1；正确
②方程x2=2的解只有无理数x=±
③存在x=0，使得03=02，故③为假命题
④x2+4≥4＞0，显然正确．
故答案为：①④
设不等式x2+|x|-2≤0的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若命题“∀x∈M，ax3-3x+1≥0”为真，求实数a的值．
正确答案
（1）原不等式等价为（|x|-1）（|x|+2）≤0，即|x|-1≤0，解的-1＜x＜1，所以M=（-1，1）．
（2）因为∀x∈M，所以-1＜x＜1，
若x=0，则1≥0恒成立，
若0＜x≤1，则a≥
则设f′(x)=
由f'（x）＞0，解得0＜x＜
所以当x=
若-1≤x＜0，则，a≤
当-1≤x＜0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数单调递增，
所以此时当x=-1时，函数取得最小值为f(-1)=
所以a=4．
已知命题p：∀x∈（1，+∞），log3x＞0，则￢p为______．
正确答案
命题“：∀x∈（1，+∞），log3x＞0”是全称命题，
否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．
故答案为：∃x0∈（1，+∞），log3x0≤0．
若命题“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围______．
正确答案
∵“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1≤0
∴x2+（a-1）x+1=0有两个实根
∴△=（a-1）2-4≥0
∴a≤-1，a≥3，
所以命题“∃x∈R，使得x2+（a-1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围（-1，3）．
故答案为：（-1，3）．
已知命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，求a的取值范围．
正确答案
因为命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，
x∈[1，2]时，x2+2x的最大值为8，
所以a≥-8时，命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题．
所以a的取值范围：[-8，+∞）．
写出下列命题的“￢p”命题：
（1）正方形的四边相等．
（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角是锐角．
（4）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0．
（5）若（x-1）（x-2）≠0，则x≠1且x≠2．
正确答案
（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为0的两个实数不都为0；
（3）若△ABC是锐角三角形，则△ABC的某个内角不是锐角．
（4）若abc=0，则a，b，c中都不为0；
（5）若（x-1）（x-2）≠0，则x=1或x=2．
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