- 全称量词与存在量词
- 共555题
若命题“∀x∈R，x2+（a-1）x+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为______．
正确答案
命题“∀x∈R，x2+（a-1）x+1≥0”是真命题，意即x2+（a-1）x+1≥0恒成立，
只需△=（a-1）2-4≤0，解得-1＜a＜3
故答案为：-1＜a＜3
命题“∀x＞0，sinx＜x”的否定是______．
正确答案
∵命题“∀x＞0，sinx＜x”是一个全称命题，
命题的否定是“∃x≤0，sinx≥x，
故答案为：∃x≤0，sinx≥x
命题“∀x∈R，x2+x＞0”的否定是“______．
正确答案
根据含量词的命题的否定形式得到：
命题“∀x∈R，x2+x＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x≤0”
故答案为：∃x∈R，x2+x≤0．
命题p：“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定¬p：______．¬p的真假为______．
正确答案
根据全称命题的否定为特称命题可知：
∀x∈R，x2+x+1＞0的否定为：∃x∈R，使得x2+x+1≤0
由于x2+x+1=（x+
故答案为：：∃x∈R，使得x2+x+1≤0；假．
已知q：不等式x2-mx+4≥0对x∈R恒成立，若￢q为假，则实数m的范围是______．
正确答案
由于￢q为假，则q为真．
∴不等式x2-mx+4≥0对于任意的x∈R均成立，
∴由△=m2-16≤0得：
-4≤m≤4；
则实数m的范围是[-4，4]．
故答案为：[-4，4]．
命题“∃x∈N，x2≤x”的否定是______．
正确答案
∵命题“∃x∈N，x2≤x”是特称命题
∴否定命题为；∀x∈N，x2＞x
故答案为：∀x∈N，x2＞x．
命题“∀x∈R，2x-1＞0”的否定是______．
正确答案
命题的否定，将量词与结论同时否定
命题“∀x∈R，2x-1＞0”的否定是“∃x∈R，2x-1≤0”
故答案为：“∃x∈R，2x-1≤0”
命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是______．
正确答案
题设隐含全称量词“所有的”．
故题设的否定为存在一个原函数，结论为原函数与反函数的图象不关于y=x对称
∴原命题的否定为：存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称．
故答案：存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称．
已知：对∀x＞0，a≤x+
正确答案
∀x＞0，y=x+
所以(x+
而对∀x＞0，a≤x+
所以a≤2．
故答案为：a≤2．
指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：
（1）若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，ax＞0．______
（2）对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2．______
（3）∃T0∈R，使|sin（x+T0）|=|sin x|．______
（4）∃x0∈R，使
正确答案
解析：（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题．
（1）∵ax＞0（a＞0且a≠1）恒成立，∴命题（1）是真命题．
（2）存在x1=0，x2=π，x1＜x2，
但tan 0=tan π，∴命题（2）是假命题．
（3）y=|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题（3）是真命题．
（4）对任意x0∈R，
∴命题（4）是假命题．
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