椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共1236题

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题型：填空题

填空题

椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为______．

正确答案

当焦点在x轴时，设椭圆方程为+=1，

由题意知a=2c，a-c=，

解得a=2，c=，

所以b2=9，所求的椭圆方程为+=1．

同理，当焦点在y轴时，所求的椭圆方程为+=1．

故答案为：+=1或+=1．

题型：填空题

填空题

若椭圆两焦点为F1（-4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是______．

正确答案

设P点坐标为（x，y），则S△PF1 F2=|F1F2||y|=4 |y|，

显然当|y|取最大时，三角形面积最大．因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，所以P点的坐标为（0，±3），所以b=3．∵a2=b2+c2，所以a=5

∴椭圆方程为+=1．

故答案为+=1

题型：填空题

填空题

椭圆+y2=1上任意一点与右焦点连线段中点的轨迹方程______．

正确答案

设椭圆上任意一点为（x0，y0），其与与右焦点连线段中点坐标为（x，y）

∵右焦点坐标为（1，0），∴x0=2x-1，y0=2y

代入椭圆方程得：+y2=1

即所求轨迹方程为+y2=1

故答案为+y2=1

题型：填空题

填空题

中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆，其一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直，且此焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为-，则椭圆的标准方程为______．

正确答案

设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），

∵该椭圆的一个焦点与椭圆上的点之间的距离最小值为-，

∴a-c=-①，

又一个焦点与短轴两端点的加线互相垂直，

∴a=c②，

由①②可得a=，c=，

∴b2=a2-c2=5，

∴所求椭圆的标准方程为：+=1．

故答案为：+=1．

题型：简答题

简答题

如图椭圆+=1(a＞b＞0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为，求椭圆的方程．

正确答案

（Ⅰ）∵焦点为F（c，0），AB斜率为，故CD方程为y=（x-c）．与椭圆联立后消去y得2x2-2cx-b2=0．

∵CD的中点为G（，-），点E（c，-）在椭圆上，

∴将E（c，-）代入椭圆方程并整理得2c2=a2，

∴e==．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD的方程为y=（x-c），b=c，a=c．

与椭圆联立消去y得2x2-2cx-c2=0．

∵平行四边形OCED的面积为：

S=c|yC-yD|=c

=c=c2=，

∴c=，a=2，b=．

故椭圆方程为+=1．

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