直线、圆的位置关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线与圆有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l。

（1）求r；

（2）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

正确答案

解：（1）设，对求导得，

故直线的斜率，

当时，不合题意，

所心

圆心为，的斜率

由知，即，

解得，故

所以。

（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为

即若该直线与圆相切，

则圆心到该切线的距离为，

即，

化简可得

求解可得

抛物线在点处的切线分别为，

其方程分别为① ② ③

②－③得，

将代入②得，

故

所以到直线的距离为。

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题型：填空题

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填空题

若直线l是曲线C：y=x3+x+1斜率最小的切线，则直线l与圆x2+y2=的位置关系为______．

正确答案

由题意得，y′=3x2+1≥1，则直线l的斜率为1，此时x=0，

故切点坐标为p（0，1），

∴直线l的方程为：y-1=x，即x-y+1=0，

则圆x2+y2=的圆心到直线的距离d==，

故此直线与此圆相切，

故答案为：相切．

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题型：简答题

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简答题

已知平面内一动点 P到定点F(0，)的距离等于它到定直线y=-的距离，又已知点 O（0，0），M（0，1）．

（1）求动点 P的轨迹C的方程；

（2）当点 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，以 M P为直径作圆，求该圆截直线y=所得的弦长；

（3）当点 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，过点 P作x轴的垂线交x轴于点 A，过点 P作（1）中的轨迹C的切线l交x轴于点 B，问：是否总有 P B平分∠A PF？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．

正确答案

（1）根据题意，动点 P是以F(0，)为焦点以y=-为准线的抛物线，

所以p=1开口向上，

所以动点 P的轨迹C的方程为x2=2y

（2）以 M P为直径的圆的圆心（，），|MP|===

所以圆的半径r=，圆心到直线y=的距离d=|-|=|y0|，

故截得的弦长l=2=2

1

4

y02+

1

4

-

1

4

y02

=1

（3）总有 P B平分∠A PF．

证明：因为y=

所以，y′=x，kl|x=x0=x0．

所以切线l的方程为y=x0x-，

令y=0得x=，

所以B（，0）

所以B到PA的距离为d1=|x0-|=

下面求直线PF的方程，

因为F(0，)

所以直线PF的方程为y-=(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0

所以点B到直线PF的距离d2===d1

所以 PB平分∠APF．

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题型：简答题

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简答题

已知实数x、y满足x2+y2+2x-2y=0，求x+y的最小值．

正确答案

原方程为（x+1）2+（y-）2=4表示一个圆的方程，

可设其参数方程为x=-1+2cosθ，y=+2sinθ（θ为参数，0≤θ＜2π），

则x+y=-1+2（sinθ+cosθ）=-1+2sin（θ+），

当θ=，即x=-1-，y=-时，

x+y的最小值为-1-2．

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题型：填空题

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填空题

从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则这两条切线夹角的余弦值为______．

正确答案

将圆的方程化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，

∴圆心坐标为（1，1），半径r=1，

设过P切线方程的斜率为k，由P（3，2），得到切线方程为y-2=k（x-3），

∴圆心到切线的距离d=r，即=1，

解得：k=0或k=，

设两直线的夹角为θ，由k的值得到tanθ=，

∴cosθ==，

则两条切线夹角的余弦值为．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知定点Q（0，5）和圆C：（x+2）2+（y-6）2=42．

（1）若直线l过Q点且被圆C截得的线段长为4，求直线l的方程；

（2）求过Q点的圆C的弦的中点P的轨迹方程，并指出其轨迹是什么？

正确答案

（1）1°当直线l斜率不存在时，容易知x=0符合题意；…2

2°当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+5，交圆于AB两点，取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，

∵|AB|=4，r=4，

∴|CM|=2，…4

则由|CM|==2得：k=，故直线l的方程为3x-4y+5=0，…6

∴直线l的方程为：x=0或3x-4y+5=0；…7

（2）设弦中点P（x，y），由题意得：CP⊥QP，…8

∴•=0，而=（x+2，y-6），=（x，y-5）…10

∴•=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化简整理得：x2+y2+2x-11y+30=0，…11

∴点P的轨迹方程为：：x2+y2+2x-11y+30=0，（（x+2）2+（y-6）2＜16）…13

∴点P的轨迹是以为（-1，）为圆心，为半径的圆，在圆（x+2）2+（y-6）2=16的内部的一段弧…14

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题型：填空题

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填空题

点P（x，y）在圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上运动，点A（-2，2），B（-2，-2）是平面上两点，则•的最大值______．

正确答案

由圆C：x2+y2-2x-2y+1=0化为（x-1）2+（y-1）2=1，可设x-1=cosα，y-1=sinα，（α∈[0，2π））即P（1+cosα，1+sinα），

∴=（3+cosα，sinα-1），=（3+cosα，3+sinα），

∴•=（3+cosα）2+（sinα-1）（sinα+3）=2sinα+6cosα+7=2sin(α+φ）+7，

当sin（α+φ）=1时，•取得最大值2+7．

故答案为2+7．

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题型：填空题

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填空题

已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|=1，则•=______．

正确答案

由题意可知△AOB是边长为1的正三角形，

∴•=1×1×cos60°=．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知圆O的半径是1，pA，pB为该圆的两条切线，那么•的最小值是______．

正确答案

设圆心到直线AB的距离是d，

•=

PA

2cos∠APB

=PA2•

=PA2-AB2

=OP2-1-×4(12-d2)

=op2+2d2-3

≥2-3

故答案为：2-3．

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题型：简答题

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简答题

设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量=(m，n)，=(1，-3)．

（Ⅰ）求使得事件“⊥”发生的概率；

（Ⅱ）求使得事件“||≤||”发生的概率；

（Ⅲ）使得事件“直线y=x与圆（x-3）2+y2=1相交”发生的概率．

正确答案

（I）由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}；n∈{1，2，3，4，5，6}，

故（m，n）所有可能的取法共6×6=36种（2分）

使得⊥，即m-3n=0，

即m=3n，共有2种（3，1）、（6，2），

所以求使得⊥的概率P==（4分）

（Ⅱ）||≤||即m2+n2≤10，

共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种

使得||≤||的概率P==（8分）

（Ⅲ）由直线与圆的位置关系得，d=＜1，

即＜，

共有，，，，，5种，

所以直线y=x与圆（x-3）2+y2=1相交的概率P=（12分）

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