- 直线、圆的位置关系
- 共2039题
在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，1），C（1，0）．
（1）求以点C为圆心，且经过点A的圆C的标准方程；
（2）若直线l的方程为x-2y+9=0，判断直线l与（1）中圆C的位置关系，并说明理由．
正确答案
（1）因为圆C的圆心为C（1，0），可设圆C的标准方程为（x-1）2+y2=r2．
因为点A（3，1）在圆C上，所以（3-1）2+12=r2，即r2=5．
所以圆C的标准方程为（x-1）2+y2=5．
（2）由于圆心C到直线l的距离为d=
因为2
圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|=
正确答案
设圆的方程为（x-1）2+（y-b）2=1
∵圆与x轴相交于A、B，|AB|=
∴
∴b=±
∵圆心在第一象限
∴b=
故圆的标准方程是(x-1)2+(y-
1
2
)2=1
故答案为：(x-1)2+(y-
1
2
)2=1
过点A（4，1）的圆C与直线x-y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为______．
正确答案
设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
则(4-a)2+(1-b)2=r2，(2-a)2+(1-b)2=r2，
解得a=3，b=0，r=
故答案为：（x-3）2+y2=2．
以坐标原点为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆方程为______．
正确答案
∵原点为所求圆的圆心，且所求圆与直线3x-4y+5=0相切，
∴所求圆的半径r=d=
则所求圆的方程为x2+y2=1．
故答案为：x2+y2=1
已知点N（
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）设l分别与直线l1和l2交于A、B两点，且AB中点为E（4，1），试判断直线l与圆N的位置关系，并说明理由．
正确答案
（Ⅰ）由题意可得：点N（
所以圆N的半径为
所以圆N的方程(x-
（II）由题意可得：设A点的坐标为（a，a），
因为AB中点为E（4，1），所以B点的坐标为（8-a，2-a），
又因为点B 在直线y=-x上，
所以a=5，
所以A点的坐标为（5，5），
又因为AB中点为E（4，1），
所以直线l的斜率为4，
所以l的方程为4x-y-15=0，
圆心N到直线l的距离
求与直线x+2y-1=0切于点A（1，0），且过点B（2，-3）的圆的方程．
正确答案
设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0），
圆心O的坐标为（a，b），半径为r，
由直线x+2y-1=0与圆O相切，可得直线AO与x+2y-1=0垂直，
∵x+2y-1=0的斜率为-
把A的坐标代入圆的方程得：（1-a）2+b2=r2，②
把B的坐标代入圆的方程得：（2-a）2+（-3-b）2=r2，③
联立①②③，解得a=0，b=-2，r=
则所求圆的方程为x2+（y+2）2=5．
圆心在直线y=x上的圆M经过点（2，0），且在x轴上截得的弦长为4，则圆M的标准方程为______（只要求写出一个即可）．
正确答案
由于圆心在y=x上，所以可设圆的方程为（x-a）2+（y-a）2=r2，将y=0代入得：x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a，x1•x2=2a2-r2，
∴弦长=|x1-x2 |=
代入可得：7a2-4r2+16=0 ①
再将点（2，0）代入方程（x-a）2+（y-a）2=r2，
得2a2-2a+4-r2=0…②，
联立①②即可解出a=0、r=2，或a=8，r2=116
于是方程为：x2+y2=4或（x-8）2+（y-8）2=116．
故答案为：x2+y2=4或（x-8）2+（y-8）2=116．
以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是______．
正确答案
以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y-35=0相切，
圆心到直线的距离等于半径，即：
所求圆的标准方程：（x-1）2+（y-2）2=25
故答案为：（x-1）2+（y-2）2=25
已知ab≠0，点M（a，b）是圆Ox2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则直线l与直线m，⊙O之间的位置关系为______．
正确答案
由题意可得a2+b2＜r2，OM⊥m．
∵KOM=
故直线m的方程为 y-b=-
又直线l的方程是 ax+by-r2 =0，故m∥l．
圆心到直线l的距离为 
故答案为：m∥l，且l与圆相离．
以点（2，-1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是______．
正确答案
将直线x+y=6化为x+y-6=0，
圆的半径r=
所以圆的方程为（x-2）2+（y+1）2=
答案：（x-2）2+（y+1）2=
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