- 直线、圆的位置关系
- 共2039题
过点M(a，0)的直线交圆O：x2+y2=25于点A，B，若
正确答案
±3
已知四点O（0，0），F（0，
（Ⅰ）当x0=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（Ⅱ）当点P（x0，y0）（x0≠0）在抛物线x2=2y上运动时，
ⅰ）以MP为直径作圆，求该圆截直线y=所得的弦长；
ⅱ）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B。问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例。
正确答案
解：（Ⅰ）当
直线PN：
得
所以，
所以，
(Ⅱ) ⅰ）以MP为直径的圆的圆心为
所以，圆的半径
圆心到直线
故截得的弦长
ⅱ）总有∠FPB=∠BPA。
证明：
所以切线l的方程为
令y=0，得
点B到直线PA的距离为
下面求直线PF的方程，
因为
整理，得
所以点B到直线PF的距离为
所以，
所以，∠FPB=∠BPA。
已知m∈R，直线l：mx-（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2-8x+4y+16=0。
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为
正确答案
解：（1）直线l的方程可化为
于是直线l的斜率
因为
所以，
所以，直线l的斜率k的取值范围是
（2）不能，
由（1）知直线l的方程为：y=k（x-4），其中
圆C的方程可化为
所以，圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2，
于是圆心C到直线l的距离
由
所以，若直线l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于
故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为
已知圆O：x2+y2=2，圆M：（x-1）2+（y-3）2=1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是（ ）。
正确答案
1或-7
已知圆C：
（1）P（，+1）在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若实数m，n满足
正确答案
解：（1）将P（，+1）代入C：
所以P（4，5），
所以
（2）将圆C：
圆心C（2，7），
因为|QC|=4
所以|MQ|的最小值为
（3）由其几何意义知，
圆心坐标C（2，7），
所以
解得：k=2±
所以
已知圆C的圆心C（1，2），且圆C与x轴相切，过原点O的直线与圆C相交于P、Q两点，则
正确答案
1
若向量
正确答案
向量
∴cos（α-β）=
故答案为：相离
（文）实数x，y满足x2+y2=1，若m＞x+2y恒成立，则实数m的取值范围为______．
正确答案
满足x2+y2=1的实数x，y对应的点在以（0，0）为圆心，以1为半径的圆O上，
如下图示：
不等式m＞x+2y恒成立，则可得m＞（x+2y）max
令z=2y+x，则y=-2x+Z（z为直线y=-2x+z在y轴上的截距），当直线y=-2x+z与圆相切时，Z最大
此时，圆心（0，0）到直线y=-2x+Z的距离d=
∴m＞
故答案为：m＞
如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y2=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ，BQ的斜率分别为k1，k2，
（1）证明：k1+k2=0；
（2）当a=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（1）设直线l的方程为
与抛物线方程联立可得：
再设点
则
所以
故
（2）因为
记线段
则圆的半径
假设存在这样的直线，记作l′：x=t，
若要满足题意，只需
故
所以
故存在这样的直线l′：x=3满足题意。
过点（1，
正确答案
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