- 平面与平面垂直的判定与性质
- 共129题
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且 ,
.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
正确答案
知识点
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,E为AD上一点,F为PC上一点,四边形BCDE为矩形,∠PAD=60°,PB=2√3,PA=ED=2AE=2.(1)若 =λ
(λ∈R),且PA∥平面
,求λ的值;(2)求证:
平面
;(3)求直线PB与平面ABCD所成的角.
正确答案
见解析
解析
试题分析:本题属于立体几何中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难.
(1)连接交
于点
,连接
.
因为平面
,平面
平面
,
所以.
因为,所以
.
因为,所以
.
所以.
(2)因为
所以.
所以.
又平面平面
,且平面
平面
,
平面
.
(3)由(2)知,平面
∴ ∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角,
在RtΔPEB中,
,
60°,
直线PB与平面ABCD所成的角为60°.
考查方向
解题思路
本题考查立体几何中的线面位置关系,解题步骤如下:1、利用线面平行的性质定理。2、利用线面垂直的定义及判定定理转化。
易错点
1、第一问中的线线平行的判定。2、第二问中求证线面垂直时要与平面内的两条相交直线垂直。
知识点
15.半径为1的球面上有四个点,球心为点
,
过点
,
,则三棱锥
的体积为___________.
正确答案
解析
由题意可知图形如图所示,
AB过点,三角形ABD与三角形ACB都是等腰直角三角形,且
,
,几何体的体积为
。
考查方向
解题思路
根据图中的有关关系,确定图形的特征,将三棱锥分割为
和
即可很容易地求解。
易错点
本题容易因对球面上的问题想象不到位,不能很好地寻求分割图形的策略而导致错误的出现。
知识点
18. 如图,四边形是菱形,
平面
,
,
,
,点
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
正确答案
(Ⅰ)略;
(Ⅱ)略;
(Ⅲ).
解析
(Ⅰ)取中点
,连接
因为点为
的中点,
所以且
又,且
,
所以
所以四边形为平行四边形.
所以
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)连接.
因为四边形为菱形,
,所以
为等边三角形.
因为为
中点,所以
,
又因为平面
,
平面
,所以
,
又,
平面
,
所以平面
.
又所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
法二:因为四边形为菱形,
,所以
为等边三角形.
因为为
中点,所以
,
又因为平面
,
平面
,
所以平面平面
,
又平面,
平面
,
所以平面
.
又所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
(Ⅲ)因为,
, 所以
.
考查方向
本题考查了线面平行,面面垂直的证明,体积的求法,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.
解题思路
(Ⅰ)借助于平行四边形,得到线线平行,进而得到线面平行;
(Ⅱ)利用面面垂直的判定定理;
易错点
定理记忆不清致误.
知识点
18.如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,
,
,Q是AD的中点。
(I)求证:平面底面ABCD;
(II)求三棱锥的体积
正确答案
(1)见解析;
(2)
解析
本题属于立体几何应用中的基本问题,题目的难度不大,用到一些平面几何的知识。
(1)化为求线面垂直
(2)转变思想,换个角度看问题。
(I)连接BQ,因为ABCD是直角梯形,AD∥BC,AD=2BC,Q为AD的中点,
所以BCDQ为平行四边形,又因为CD=,所以QB=
.
因为ΔPAD是边长为2的正三角形,Q是AD的中点,
所以PQ⊥AD,PQ=,
在ΔPQB中,QB=,PB=
,有
,所以PQ⊥DQ.
因为AD∩BQ=Q,AD、BQ平面ABCD,
所以PQ⊥平面ABCD.
因为PQ平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
(II)由(I)知:PQ⊥平面ABCD,PQ=,
因为底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=,
所以ΔBCD是直角三角形,其中∠BCD=,
因为BC=1,CD=,于是
.
考查方向
本题考查了空间面面垂直、求椎体体积等知识,全面考查了学生阅读能力、空间想象能力与分析问题解决问题的能力,属于中档题,立体几何也是高考的必考内容,常与平几知识相结合,也有的会需要建立空间坐标系,结合空间向量的知识解决。
易错点
第二问求三棱锥的体积,如果不知道转化,则无法求出.
知识点
18. 如图所示,该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥
组合而成,
,
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求正四棱锥的高
,使得该四棱锥的体积是三棱锥
体积的4倍.
正确答案
略
解析
(Ⅰ)证明:直三棱柱中,
平面
,所以:
,又
,所以:
平面
,
平面
,所以:平面
平面
(Ⅱ)到平面
的距离
所以:
而:
,所以
考查方向
本题考查了立体几何中的面面垂直的证明和正四棱锥的体积问题,
解题思路
本题第一问证明面面垂直,只要证明线面垂直即可;第二问把两个几何体的体积求出来,由两个几何体的体积关系直接求出高就行了。
易错点
1、解题 的规范化问题,2、第二问中不能正确的求出所需几何体的体积。
知识点
19.已知在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,若SB丄AC,SA = SC.
(1)求证:平面SBD丄平面
(2)若 AB = 2,SB = 3,cos∠SCB=,∠SAC=60。,求四棱锥 S—ABCD 的体积.
正确答案
如图所示
(1)设AC∩BD=O,
连接SO
因为SA=SC,
所以SO∩SB=S,所以AC⊥平面SBD,
因为AC在平面ABCD内,
所以平面SBD⊥平面ABCD
(2)作SH⊥平面ABCD,即
由(1)知,AC⊥BD,
所以底面ABCD是菱形,
所以BC=AB=2
因为SB=3,cos∠SCB=1/8
所以由余弦定理可得,
SC=2,所以∠SAC=60°,
所以SAC是等边三角形
所以在Rt△SOH中,SH=SO*sin60°=3/2
所以
解析
证AC垂直于面ABCD,
设AC交BD于0,
因为SA=SC,
SO交SB于S,
所以AC垂直于平面SBD,
因为AC在平面ABCD内,
所以面SBD垂直于面ABCD.求底面面积时,
先用余弦定理求出角SOB=120度,角SOH=60度,
所以四棱锥的体积为
考查方向
立体几何中的相关计算和证明
解题思路
通过线线垂直得到线面垂直,进而得到面面垂直,找清四棱锥的底面和高,利用公式求解。
易错点
面面垂直概念混淆,立体感不强
知识点
16. 多面体ABCDEF(如图甲)的俯视图如图乙,己知面ADE为正三角形.
(1)求多面体ABCDEF的体积;
(2)求证:平面ACF⊥平面BDF.
正确答案
(1);
(2)略.
解析
试题分析:本题属于立体几何中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难.
(1)分别取AB、CD的中点M、N,连接EM、EN、MN,多面体体积转化为棱柱AED-MFN的体积V1与四棱锥F-MBCN的体积V2之和。
由三视图可知,AD=2,AM=DN=1,面ADE为正三角形且垂直于底面ABCD,知F点到底面的距离为。所以V=V1+V2=
+
/3=
.
考查方向
本题考查了立体几何中的体积和面面垂直的问题.属于高考中的高频考点。
解题思路
本题考查立体几何中的体积和面面垂直的问题,解题步骤如下:
(1)做辅助线,拆分多面体。
(2)转化为证明线面垂直。
易错点
(1)第一问中的多面体的拆分。
(2)第二问中的面面垂直的转化。。
知识点
19.如图,四棱柱的底面
是平行四边形,且
,
,
,
为
的中点,
平面
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若,试求异面直线
与
所成角的余弦值.
正确答案
见解析
解析
试题分析:本题属于立体几何中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难.
试题解析:(Ⅰ)依题意∴
是正三角形,
,
∵⊥平面
,
平面
,
平面
平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)取的中点
,连接
、
,连接
中,
是中位线,
,
∴四边形是平行四边形,可得
可得(或其补角)是异面直线
与
所成的角.
,
即异面直线与
所成角的余弦值为
.
考查方向
本题考查了立体几何中的面面垂直和异面直线所成的角的问题.属于高考中的高频考点。
解题思路
本题考查立体几何,解题步骤如下:
(1)转化为证明线面垂直。
(2)找到三角形,利用余弦定理求解。
易错点
(1)第一问中的面面垂直的转化。(2)第二问中异面直线所成的角求解时要找到适当的三角形。
知识点
正确答案
知识点
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