平面与平面垂直的判定与性质
共129题

平面与平面垂直的判定与性质
共129题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD＝60°，PB＝2√3，PA＝ED＝2AE＝2．（1）若 =λ（λ∈R），且PA∥平面，求λ的值；（2）求证：平面；(3)求直线PB与平面ABCD所成的角．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）连接交于点，连接.

因为平面，平面平面，

所以.

因为，所以.

所以.

（2）因为

所以.

又平面平面，且平面平面,

平面．

（3）由（2）知，平面

∴　∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，

在RtΔPEB中，

，

60°，

直线PB与平面ABCD所成的角为60°．

考查方向

本题考查了立体几何中的线面位置关系的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何中的线面位置关系，解题步骤如下：1、利用线面平行的性质定理。2、利用线面垂直的定义及判定定理转化。

易错点

1、第一问中的线线平行的判定。2、第二问中求证线面垂直时要与平面内的两条相交直线垂直。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.半径为1的球面上有四个点，球心为点，过点，，则三棱锥的体积为___________.

正确答案

解析

由题意可知图形如图所示，

AB过点，三角形ABD与三角形ACB都是等腰直角三角形，且，，几何体的体积为。

考查方向

本题主要考查了空间几何体的体积问题，主要考查了“分割法”求体积的思想。

解题思路

根据图中的有关关系，确定图形的特征，将三棱锥分割为和即可很容易地求解。

易错点

本题容易因对球面上的问题想象不到位，不能很好地寻求分割图形的策略而导致错误的出现。

知识点

平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

18．如图，四边形是菱形，平面，，, ，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

正确答案

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）．

解析

（Ⅰ）取中点，连接

因为点为的中点，

所以且

又，且，

所以

所以四边形为平行四边形．

所以

又平面，平面,

所以平面．

（Ⅱ）连接．

因为四边形为菱形，，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面，平面，所以，

又，平面，

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

法二：因为四边形为菱形，，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面，平面，

所以平面平面，

又平面，平面,

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

（Ⅲ）因为，

, 所以．

考查方向

本题考查了线面平行，面面垂直的证明，体积的求法，在近几年的各省高考题出现的频率非常高．

解题思路

（Ⅰ）借助于平行四边形，得到线线平行，进而得到线面平行；

（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理；

易错点

定理记忆不清致误．

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

题型：填空题

填空题 · 12 分

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，，，Q是AD的中点。

（I）求证：平面底面ABCD；

（II）求三棱锥的体积

正确答案

（1）见解析；

（2）

解析

本题属于立体几何应用中的基本问题，题目的难度不大，用到一些平面几何的知识。

（1）化为求线面垂直

（2）转变思想，换个角度看问题。

（I）连接BQ，因为ABCD是直角梯形，AD∥BC,AD=2BC,Q为AD的中点，

所以BCDQ为平行四边形，又因为CD=，所以QB=．

因为ΔPAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，

所以PQ⊥AD,PQ=,

在ΔPQB中，QB=,PB=,有,所以PQ⊥DQ．

因为AD∩BQ=Q,AD、BQ平面ABCD,

所以PQ⊥平面ABCD．

因为PQ平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD．

(II)由（I）知：PQ⊥平面ABCD，PQ=，

因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=,

所以ΔBCD是直角三角形，其中∠BCD=,

因为BC=1,CD=，于是．

考查方向

本题考查了空间面面垂直、求椎体体积等知识，全面考查了学生阅读能力、空间想象能力与分析问题解决问题的能力，属于中档题，立体几何也是高考的必考内容，常与平几知识相结合，也有的会需要建立空间坐标系，结合空间向量的知识解决。

易错点

第二问求三棱锥的体积，如果不知道转化，则无法求出．

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得该四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍.

正确答案

略

解析

（Ⅰ）证明：直三棱柱中，平面，所以：，又，所以：平面，平面，所以：平面平面

（Ⅱ）到平面的距离所以：而：，所以

考查方向

本题考查了立体几何中的面面垂直的证明和正四棱锥的体积问题，

解题思路

本题第一问证明面面垂直，只要证明线面垂直即可；第二问把两个几何体的体积求出来，由两个几何体的体积关系直接求出高就行了。

易错点

1、解题的规范化问题，2、第二问中不能正确的求出所需几何体的体积。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质

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