- 平面与平面垂直的判定与性质
- 共129题
如图,在梯形中,
,
,
,平面
平面
,四边形
是矩形,
,点
在线段
上。
(1)求证:平面
;
(2)当FM为何值时,AM平面BDE?证明你的结论。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意知,为等腰梯形,且
,
,
所以,
又平面平面
,平面
平面
,
所以平面
,
(2)
当,
平面
,
在梯形中,设
,连结
,则
,
因为,
,
所以,又
,
所以四边形为平行四边形,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
,
知识点
如图,棱柱的侧面
是菱形,底面
是边长为4的等边三角形,且
。
(1)求证:平面平面
;
(2)设是棱
上的点,且
平面
,当
时,求
与平面
所成的角的正切值。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)证明:侧面
是菱形,
,又
故平面
,所以平面
平面
。 6分
(2)记与
的交点为
,连结
。
平面
,
与平面
所成的角为
。 8分
平面
,
,
为
的中点,
为
的中点。
因为底面是边长为4的等边三角形,
则中,
,
,
,
故与平面
所成的角的正切值为
。 13分
知识点
如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C。
(1)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(2)若AB=2,求三棱柱ABC—A1B1C1体积。
正确答案
见解析
解析
(1)由侧面AA1B1B为正方形,知AB⊥BB1。
又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以AB⊥平面BB1C1C,
又AB平面AA1B1B,所以平面AA1B1B⊥BB1C1C, …4分
(2)由题意,CB=CB1,设O是BB1的中点,连结CO,则CO⊥BB1。
由(1)知,CO⊥平面AB1B1A,且CO=BC=AB=,
连结AB1,则VC-ABB1=S△ABB1·CO=AB2·CO=, …8分
因VB1-ABC=VC-ABB1=VABC-A1B1C1=,
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1=2. …12分
知识点
如图,平面ABDE⊥平面ABC,ACBC,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD
AE,BD
BA,AE=2BD=4,O、M分别为CE、AB的中点。
(1)证明:OD//平面ABC;
(2)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位置,并加以证明;若不能,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:
取AC中点F,连结OF、FB.
∵F是AC的中点,O为CE的中点,
∴OF∥EA且OF=, 又BD∥AE且BD=
,
∴OF∥DB,OF=DB,
∴四边形BDOF是平行四边形。
∴OD∥FB …………4分
又∵FB平面ABC,OD
平面ABC,∴OD∥面ABC。 …………6分
(II)当N是EM中点时,ON⊥平面ABDE。 ………7分
证明:取EM中点N,连结ON、CM, AC=BC,M为AB中点,∴CM⊥AB,
又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE面ABC=AB,CM
面ABC,
∴CM⊥面ABDE, ∵N是EM中点,O为CE中点,∴ON∥CM,
∴ON⊥平面ABDE。 …………12分
知识点
在等腰梯形(见图1)中,
,
,
,垂足为
,将
沿AD折起,使得,得到四棱锥
(见图2),在
图2中完成下面问题:
(1)证明:平面平面PCD;
(2)在线段上是否存在一点
,使
平面
.若存在,请给出证明;
若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵在图1的等腰梯形中,
,
∴所以在四棱锥中,
,
又,且
,∴
,
,
而平面
,
平面
,
,
∴平面
.∵
平面
,
∴平面平面
.
(2)当时,有
平面
。
证明:在梯形中,连结
、
交于点
,
连结.易知
∽
,所以
.
又,所以
,所以在平面
中,有
。
又因为平面
,
平面
,所以
平面
.
知识点
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