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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,在梯形中,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上。

(1)求证:平面

(2)当FM为何值时,AM平面BDE?证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意知,为等腰梯形,且

所以

又平面平面,平面平面

所以平面,                         

(2)

平面,       

在梯形中,设,连结,则

因为

所以,又

所以四边形为平行四边形,所以

平面平面

所以平面,  

知识点

平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,棱柱的侧面是菱形,底面是边长为4的等边三角形,且

(1)求证:平面平面

(2)设是棱上的点,且平面,当时,求与平面 所成的角的正切值。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)证明:侧面是菱形,,又

平面,所以平面平面。                          6分

(2)记的交点为,连结

平面与平面所成的角为。                8分

平面的中点,的中点。

因为底面是边长为4的等边三角形,

中,

与平面 所成的角的正切值为。                            13分

知识点

平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C。

(1)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;

(2)若AB=2,求三棱柱ABC—A1B1C1体积。

正确答案

见解析

解析

(1)由侧面AA1B1B为正方形,知AB⊥BB1

又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以AB⊥平面BB1C1C,

又AB平面AA1B1B,所以平面AA1B1B⊥BB1C1C,   …4分

(2)由题意,CB=CB1,设O是BB1的中点,连结CO,则CO⊥BB1

由(1)知,CO⊥平面AB1B1A,且CO=BC=AB=,

连结AB1,则VC-ABB1=S△ABB1·CO=AB2·CO=,          …8分

因VB1-ABC=VC-ABB1=VABC-A1B1C1=,

故三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1=2.                      …12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,平面ABDE⊥平面ABC,ACBC,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BDAE,BDBA,AE=2BD=4,O、M分别为CE、AB的中点。

(1)证明:OD//平面ABC;

(2)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?若能,请指出点N的位置,并加以证明;若不能,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:

取AC中点F,连结OF、FB.

∵F是AC的中点,O为CE的中点,

∴OF∥EA且OF=, 又BD∥AE且BD=

∴OF∥DB,OF=DB,

∴四边形BDOF是平行四边形。

∴OD∥FB                                                      …………4分

又∵FB平面ABC,OD平面ABC,∴OD∥面ABC。                                      …………6分

(II)当N是EM中点时,ON⊥平面ABDE。                     ………7分

证明:取EM中点N,连结ON、CM, AC=BC,M为AB中点,∴CM⊥AB,

又∵面ABDE⊥面ABC,面ABDE面ABC=AB,CM面ABC,

∴CM⊥面ABDE,   ∵N是EM中点,O为CE中点,∴ON∥CM,

∴ON⊥平面ABDE。                                                                                                …………12分

知识点

平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在等腰梯形(见图1)中,,垂足为,将

沿AD折起,使得,得到四棱锥(见图2),在

图2中完成下面问题:

(1)证明:平面平面PCD;

(2)在线段上是否存在一点,使平面.若存在,请给出证明;

若不存在,请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵在图1的等腰梯形中,

∴所以在四棱锥中,

,且,∴

平面平面

平面.∵平面

∴平面平面.

(2)当时,有平面


证明:在梯形中,连结交于点

连结.易知,所以.

,所以,所以在平面中,有

又因为平面平面,所以平面.

知识点

平面与平面之间的位置关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
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