热门试卷

解：（1）设C的标准方程为

则由题意

因此

C的标准方程为

C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0；

（2）如图，由题意点E（xE，yE）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4

故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4

设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，由方程组

及解得：

设MN与x轴的交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4中，令y=0 得

（易知xE≠0），注意到xE2-4yE2=4，得

。

解：设双曲线方程为：﹣=1（a＞0，b＞0），

F1（﹣c，0），F2（c，0），P（x0，y0）．

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos=（|PF1|﹣|PF2|）2+|PF1||PF2|．

即4c2=4a2+|PF1||PF2|．

又∵=2．

∴|PF1||PF2|sin=2．

∴|PF1||PF2|=8．

∴4c2=4a2+8，即b2=2．

又∵e==2，

∴a2=．

∴双曲线的方程为：﹣=1．

解：（1）设双曲线方程为

由，同向，

∴渐近线的倾斜角为（0，），

∴渐近线斜率为：

∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴

∴

可得：，

而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan

∴；

∴∴

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，c=b，

∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），

代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

4=，16=﹣，

∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．

解：（1）由，所以，，　　

焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离，　　

所以，　　

所以，

所以a2=1， 　　

所以双曲线方程为；　　

（2）设，　　

将y=kx+1代入x2-y2=1得，　　

所以，

解得。

解：（1）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得

|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

＜|AB|=4

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c=2，2a=2，

∴a2=2，b2=c2-a2=2

∴曲线C的方程为。

（2）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得

（1-k2）x2-4kx-6=0 ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）②

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d=，

∴S△DEF=

若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥，则有

解得 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。

解：（Ⅰ）设P（x，y），则

化简得；

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0），与双曲线方程联立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0

由题意知，3-k2≠0且△>0

设B（x1，y1），C（x2，y2）

则

因为

所以直线AB的方程为

因此M点的坐标为

同理可得

因此

②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2

则B（2，3），C（2，-3），AB的方程为y=x+l

因此M点的坐标为，

同理可得

因此

综上

即

故以线段MN为直径的圆过点F。

解：（1）由题意，得，

解得：=，b=1，

∴所求双曲线方程为。

（2）

联立，

得，

，

化简，得，

∴，

∵以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（，0），

∴，

即，

又，

即，

整理，得，

，

当时，L的方程为，直线过定点（，0)，与已知矛盾；

当时，L的方程为，直线过定点（2，0）； 

∴直线L过定点，定点坐标为（2，0）。

解：（1）设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为，

∴对于双曲线C：c=2，

又为双曲线C的一条渐近线，

∴，解得，

∴双曲线C的方程为。

（2）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，

设l的方程：，，

则，

，

∴，

∴，

∵在双曲线C上，

∴，

∴，

∴，

同理有：，

若则直线l过顶点，不合题意，∴，

∴是二次方程的两根，

∴，∴，

此时△＞0，∴k=±2，

∴所求Q的坐标为（±2，0）。

解：以O为原点，∠P1OP2的平分线为x轴建立直角坐标系，

设双曲线的方程，

由于双曲线的离心率为，

∴，∴，

∴两条渐近线的方程为，

由此设点P1，P2(x1＞0，x2＞0)，

由题设知点P分所成的比λ=2，得点P的坐标为，

又点P在双曲线上，

∴，即，

∴， ①

又，

且sin∠P1OP2=，

∴，由此得，

代入①式得，∴，

所求方程为。