双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

若双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，则双曲线的离心率等于（　　）

A1

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，

∴=，

∴e==．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

（2015•四川模拟）若角α的终边经过点A（，a），且点A在双曲线=1的渐近线上，则sinα=（　　）

A±1

B

C

D

正确答案

C

解析

解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，

点A在双曲线=1的渐近线上，

即有a=±×=±1，

sinα==±=．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：x2-=1的离心率为e，若p=e，则抛物线E：x2=2py的焦点F到双曲线C的渐近线的距离为（　　）

A

B1

C

D

正确答案

D

解析

解：双曲线C：x2-=1的a=1，b=，c==2，

则离心率e==2，即p=2，

抛物线E：x2=2py即为x2=4y，

则有F（0，1），又双曲线的渐近线方程为y=x，

则所求距离d==．

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为______．

正确答案

或

解析

解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）

所以所作斜率为1的直线l：y=x-a，

若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．

联立其中一条渐近线y=-x，则，

解得x2=①；

同理联立，

解得x1=②；

又因为|AB|=2|AC|，

（i）当C是AB的中点时，则x2=⇒2x2=x1+a，

把①②代入整理得：b=3a，

∴e===；

（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，

∴x1+2x2=3a，

把①②代入整理得：a=3b，

∴e===．

综上所述，双曲线G的离心率为或．

故答案为：或．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•宁波期末）已知F1，F2分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，其离心率为e，点B的坐标为（0，b），直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴，直线F1B的交点分别为M，R，若△RMF1与△PQF2的面积之比为e，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

A

解析

解：由题意，|OB|=b，|O F1|=c．∴kPQ=，kMR=-．

直线PQ为：y=（x+c），与y=x．联立得：Q（，）；

与y=-x．联立得：P（，）．PQ的中点为（，），

直线MR为：y-=-（x-），

令y=0得：xM=，

又△RMF1与△PQF2的面积之比为e，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∴3c=xM=，

解之得：e2=，

∴e=

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

若抛物线C的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左焦点，则抛物线C的标准方程为______．

正确答案

y2=-20x

解析

解：双曲线16x2-9y2=144，可化为，c2=9+16=25

∴c=5

∴双曲线的左焦点为（-5，0）

∵双曲线的左焦点是抛物线的焦点

∴抛物线的标准方程是y2=-20x

故答案为：y2=-20x．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，直线l过（c，0），（0，b）两点，若直线l与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：根据题意知，直线l与双曲线的渐近线y=垂直；

直线l的斜率为；

∴；

∴，可设，则：；

∴e2-e-1=0；

解得，或（舍去）．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x-3）2+y2=9相交于A．B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（　　）

A8

B

C3

D4

正确答案

C

解析

解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线：bx-ay=0，圆（x-3）2+y2=9相交于A、B两点，圆的圆心（3，0），半径为3，圆心到直线的距离为：2=2，

可得：=2．解得b=2a．

∴c=3a．

∴双曲线的离心率为3．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间，则k=（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，

∴△OF1A是等边三角形

∴|AF1|=c，，

∴，

∴=

∵双曲线的离心率介于整数k与k+1之间

∴k=2

故选B．

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题型：简答题

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简答题

曲线C与双曲线x2-y2=a2关于点（3，4）对称，求曲线C的方程．

正确答案

解：设曲线C上任意点为P（x，y），则P点关于点（3，4）的对称点在双曲线x2-y2=a2上；

设点P关于点（3，4）的对称点为（x0，y0），则：

；

∴，带入双曲线方程得：

（6-x）2-（8-y）2=a2；

该方程即为曲线C的方程．

解析

解：设曲线C上任意点为P（x，y），则P点关于点（3，4）的对称点在双曲线x2-y2=a2上；

设点P关于点（3，4）的对称点为（x0，y0），则：

；

∴，带入双曲线方程得：

（6-x）2-（8-y）2=a2；

该方程即为曲线C的方程．

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