双曲线_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

如图，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为、F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．

（I）求双曲线的方程；

（II）设A（m，0）和（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心．

正确答案

（I）解：根据题设条件，F1（-c，0），F2（c，0）．

设点M（x，y），则x、y满足

因，解得，

故=．

利用a2+b2=c2，得，于是．

因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1．

（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为．

于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足

将①代入②得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0．

由已知，显然m2-2x1m+1≠0．于是．

因为x1≠0，得．

同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足

可解得．

所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．

解析

（I）解：根据题设条件，F1（-c，0），F2（c，0）．

设点M（x，y），则x、y满足

因，解得，

故=．

利用a2+b2=c2，得，于是．

因此，所求双曲线方程为x2-4y2=1．

（II）解：设点C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），则直线l的方程为．

于是C（x1，y1）、D（x2，y2）两点坐标满足

将①代入②得（x12-2x1m+m2-4y12）x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0．

由已知，显然m2-2x1m+1≠0．于是．

因为x1≠0，得．

同理，C（x1，y1）、E（x3，y3）两点坐标满足

可解得．

所以x2=x3，故直线DE垂直于x轴．

1

题型：单选题

|

单选题

与椭圆+=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的坐标方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

D

解析

解：椭圆+=1的焦点为（0，±5），

则双曲线的c=5，可设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0），

则a2+b2=25，

离心率e=，即为=，即有a=4，b=3．

即有双曲线的方程为-=1．

故选：D．

1

题型：填空题

|

填空题

（2015•上虞市二模）双曲线x2-y2=2的实轴长为______，离心率为______，渐近线方程为______．

正确答案

2

y=±x

解析

解：双曲线x2-y2=2中a=b=，c=2，

∴实轴长为2a=2；离心率为=，渐近线方程为y=±x．

故答案为：2；；y=±x．

1

题型：单选题

|

单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C，若=2，则双曲线的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上顶点A为（0，a），

直线AB：y=x+a，

由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=x，

可得交点C（，），

由直线y=x+a与双曲线的渐近线方程y=-x，

可得交点B（-，）．

由=2，可得

（，）=2（，），

即有=-，

即2b-2a=-a-b，

即a=3b，

则c===a，

则e==．

故选：D．

1

题型：单选题

|

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，其中一条渐近线方程为y=x（b∈N*），P为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O为坐标原点），若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为（　　）

A-y2=1

Bx2-y2=1

C-=1

D-=1

正确答案

A

解析

解：∵|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，

∴4c2=|PF1|•|PF2|，

∵|PF1|-|PF2|=4，

∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=16，

即：|PF1|2+|PF2|2-8c2=16，①

设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π-θ，

由余弦定理得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|•|OP|•cos（π-θ），

|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|•cosθ

整理得：|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②

由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2

∵OP＜5，∴20+3b2＜25，∵b∈N，∴b2=1．

∵一条渐近线方程为y=x（b∈N*），

∴=，∴a=2，

∴=1．

故选：A．

1

题型：单选题

|

单选题

双曲线C1：-=1（a＞0，b＞0）与抛物线C2：y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰过它们公共焦点F，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（　　）

A（，）

B（，）

C（，）

D（0，）

正确答案

A

解析

解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）

∴p=2c

∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，

∴将x=c代入双曲线方程得到A（c，）

将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc

4a4+4a2b2-b4=0

解得=

双曲线的渐近线的方程为y=±x

设倾斜角为α，则tanα==

∴＜α＜

故选：A．

1

题型：单选题

|

单选题

若双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=1相离，则其离心率e的取值范围是（　　）

Ae＞1

Be＞

Ce＞

De＞

正确答案

C

解析

解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）2+y2=1相离，

∴圆心到渐近线的距离大于半径，即＞1

∴3b2＞a2，

∴c2=a2+b2＞a2，

∴e=＞．

故选：C．

1

题型：填空题

|

填空题

双曲线=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=______．

正确答案

解析

解：∵双曲线的虚轴两端点为B1、B2，两焦点为F1，F2．

∴F1（-c，0），B1（0，b），可得直线F1B1的方程为y=（x+c），即bx-cy+bc=0．

∵双曲线的两顶点为A1、A2，以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，

∴点O到直线F1B1的距离等于半径，即=a，化简得b2c2=a2（b2+c2），

∵b2=c2-a2，∴上式化简为（c2-a2）c2=a2（2c2-a2），整理得c4-3a2c2+a4=0．

两边都除以a4，得e4-3e2+1=0，解之得e2=

∵双曲线的离心率e＞1，

∴e2=，可得e==

故答案为：

1

题型：简答题

|

简答题

双曲线C的中心在原点，右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若过点（0，1）的直线L与双曲线的右支交与两点，求直线L的斜率的范围；

（Ⅲ）设直线L：y=kx+1与双曲线C交与A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

正确答案

解：（I）设双曲线的方程为-=1，由焦点坐标得c=，渐近线方程为y=±x=±x，

∵c2=a2+b2，

∴a2=，b2=1，

∴双曲线C的方程为：-y2=1．

（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得，消去y得：（3-k2）x2-2kx-2=0，

设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：，

解得：-＜k＜-．

（III）由得（3-k2）x2-2kx-2=0，

由△＞0，且3-k2≠0，得-＜k＜，且k≠±．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，

∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，

∴+1=0，解得k=±1．

解析

解：（I）设双曲线的方程为-=1，由焦点坐标得c=，渐近线方程为y=±x=±x，

∵c2=a2+b2，

∴a2=，b2=1，

∴双曲线C的方程为：-y2=1．

（II）设直线L的方程为y=kx+1，联立直线和曲线方程得，消去y得：（3-k2）x2-2kx-2=0，

设两交点为（x1，y1），（x2，y2），由直线和曲线右支交于两点得：，

解得：-＜k＜-．

（III）由得（3-k2）x2-2kx-2=0，

由△＞0，且3-k2≠0，得-＜k＜，且k≠±．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以 x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，

∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，

∴+1=0，解得k=±1．

1

题型：填空题

|

填空题

设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点

∴点P到原点的距离|PO|==c，∠F1PF2=90°，

∵|PF1|=2|PF2|，

∴|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，

∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，

∴16a2+4a2=4c2，

∴5a2=c2，

∴e=

故答案为：

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析