双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（　　）

A+=1

B+=1

Cx2-y2=1

Dx2-=1

正确答案

C

解析

解：若双曲线的方程为x2-y2=1

则双曲线的两个焦点为F1（-，0）、F2（，0）

则存在点P（，），使得|PF1|：|PF2|=4：2=2：1

即双曲线x2-y2=1存在“Ω点”，

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，|PF|=5，则该双曲线的两条渐近线方程为______．

正确答案

解析

解：抛物线y2=8x 的焦点F（2，0），准线为 x=-2，∴c=2．设P（m，n），

由抛物线的定义得|PF|=5=m+2，∴m=3．由双曲线的定义得 =，

∴=，∴a=1，∴b=，∴两条渐近线方程为，

故答案为．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•天津期末）若双曲线-=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=-20x的焦点重合，则双曲线的方程为（　　）（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

A

解析

解：∵双曲线-=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，

∴=，

∵一个焦点与抛物线y2=-20x的焦点重合，

∴c=5，

∴a=2，b=，

∴双曲线的方程为=1．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•吉林校级期末）讨论直线l：y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的公共点的个数．

正确答案

解：联立y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．

①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；

②当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）=0，解得k=±，直线与双曲线有且只有一个公共点；

③当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）＞0，解得-＜k＜，直线与双曲线有两个公共点．

解析

解：联立y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1，化为（1-k2）x2-2kx-2=0．

①当1-k2=0时，可得k=±1，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线y=±x平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点；

②当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）=0，解得k=±，直线与双曲线有且只有一个公共点；

③当1-k2≠0时，由△=4k2+8（1-k2）＞0，解得-＜k＜，直线与双曲线有两个公共点．

1

题型：单选题

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单选题

设F1、F2是离心率为的双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|则λ的值为（　　）

A2

B

C3

D

正确答案

A

解析

解：取PF2的中点A，则=2，

∵，∴•=0，

∴，由 OA 是△PF1F2的中位线，

∴PF1⊥PF2，OA=PF1．

由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，

∵|PF1|=λ|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．

△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4C2，

∴=4c2，

又 =，∴，∴λ=2，

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

已知P点是双曲线上一点，F1、F2是它的左、右焦点，若|PF2|=3|PF1|，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A（1，2）

B（2，+∞）

C（1，2]

D[2，+∞）

正确答案

C

解析

解根据双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a，即3|PF1|-|PF1|=2a．

∴a=|PF1|．|PF2|=3a

在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，

2c＜4|PF1||，c＜2|PF1|=2a，

∴＜2，

当p为双曲线顶点时，=2

又∵双曲线e＞1，

∴1＜e≤2

故选C

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题型：填空题

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填空题

若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线为y=x，

则===b=×2c，

即有c=2b，即有c=2，

即有3c2=4a2，

即有e==．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知A是双曲线的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若=λ，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A

B

C

D与λ的取值有关

正确答案

B

解析

解：由题意，PG=2GO，GA∥PF1，

∴2OA=AF1，

∴2a=c-a，∴c=3a，

∴b=2a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的（　　）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

解：当mn＜0时，分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况

①当m＜0、n＞0时，方程=1表示焦点在y轴上的双曲线；

②当m＞0、n＜0时，方程=1表示焦点在x轴上的双曲线

因此，mn＜0时，方程=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．

而方程=1表示实轴在x轴上的双曲线时，m＞0、n＜0，必定有mn＜0

由此可得：mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件

故选：B

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题型：填空题

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填空题

已知点F1、F2分别为-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则这个双曲线的离心率为______．

正确答案

5

解析

解：由P为双曲线左支上的任意一点，

则|PF2|-|PF1|=2a，

即有|PF2|=|PF1|+2a，

令|PF1|=t（t≥c-a），

则===t++4a，

若t++4a≥2+4a=8a，

当且仅当t=2a时，取最小值8a，则由题意可得，c-a＞2a，即有c＞3a．

故[c-a，+∞）是增区间，即有c-a++4a=9a，

化简得，10a2-7ac+c2=0，

解得c=2a（舍去）或c=5a．

则离心率为e==5．

故答案为：5．

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