双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（　　）

A2

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为，

又b2=c2-a2，代入得4a2=3c2，解得，即，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的x2-y2=a2左右顶点分别为A，B，双曲线在第一象限的图象上有一点P，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，则（　　）

Atanαtanβ+1=0

Btanαtanγ+1=0

Ctanβtanγ+1=0

Dtanαtanβ-1=0

正确答案

A

解析

解：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），

kPA=tanα=，①

kPB=-tanβ=，②

由x2-y2=a2得=1，

①×②，得-tanαtanβ=1，

故选A．

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题型：单选题

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单选题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（　　）

A

B

C2

D

正确答案

C

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，

渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，

∴F1（-c，0）F2（c，0）P（x，y），

渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=-x，

∵l2∥PF2，∴，即ay=bc-bx，

∵点P在l1上即ay=bx，

∴bx=bc-bx即x=，∴P（，），

∵l2⊥PF1，

∴，即3a2=b2，

∵a2+b2=c2，

∴4a2=c2，即c=2a，

∴离心率e==2．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•山西校级期末）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）

Ay=±2x

B

Cy=±4x

D

正确答案

A

解析

解：双曲线的离心率为，

则=，令c=t，a=2t，则b==t，

则双曲线的渐近线方程为y=x，

即为y=±2x，

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．

正确答案

解：设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．

解析

解：设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：x2-=1，直线l：y=mx-m+（m∈R），直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则m的所有取值个数是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

解：直线l：y=mx-m+（m∈R），即为

m（x-1）=y-，恒过定点P（1，），

双曲线的渐近线方程为y=x，

则P在渐近线y=x上，

则过P作与渐近线y=-x平行的直线，与双曲线只有一个交点；

过P作与x轴垂直的直线与双曲线只有一个交点，但m不存在．

则m的所有取值个数为1．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M、N两点，F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x2+y2=a2，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

D

解析

解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，

x=-a时，可得M（-a，b），N（-a，-b），

∵F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x2+y2=a2，

∴=，

∴e3-3e-2=0，

∴e=2．

故选：D．

1

题型：单选题

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单选题

如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ=60°且=4，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：因为∠PAQ=60°且=4，

所以△QAP为等边三角形，

设AQ=2R，则PQ=2R，OP=R，

渐近线方程为y=x，A（a，0），

取PQ的中点M，则AM=，

由勾股定理可得（2R）2-R2=（）2，

所以（ab）2=3R2（a2+b2）①，

在△OQA中，=，

所以R2=a2②

①②结合c2=a2+b2，

可得e==．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

已知焦点为（0，3）的双曲线方程是8kx2-ky2=8，则k=______．

正确答案

-1

解析

解：双曲线8kx2-ky2=8

化为-=1，

∵双曲线的一个焦点为（0，3），

∴--=32，

解得k=-1．

故答案为：-1．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且过点．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）斜率为k且过点P（1，2）的直线l与双曲线C有两个公共点，求k的取值范围；

（3）在（2）的条件下，试判断以Q（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的标准方程为----------------------------（3分）

（2）设直线l的方程为y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，

由得（k2-2）x2-2（k2-2k）x+k2-4k+6=0．----------------（5分）

∵直线l与C有两个公共点，

∴得

解之得：k＜且．

∴k的取值范围是．-----------------------------（8分）

（3）设以Q（1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点

，作差得kMN=2--------------------------------------------------（11分）

由（2）可知，k=2时，直线l与C没有两个公共点，

∴设以Q（1，1）为中点的弦不存在．----------------------------（12分）

解析

解：（1）∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的标准方程为----------------------------（3分）

（2）设直线l的方程为y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，

由得（k2-2）x2-2（k2-2k）x+k2-4k+6=0．----------------（5分）

∵直线l与C有两个公共点，

∴得

解之得：k＜且．

∴k的取值范围是．-----------------------------（8分）

（3）设以Q（1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点

，作差得kMN=2--------------------------------------------------（11分）

由（2）可知，k=2时，直线l与C没有两个公共点，

∴设以Q（1，1）为中点的弦不存在．----------------------------（12分）

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正确答案

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