双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足|PF1|•|PF2|=，求△PF1F2的周长．

正确答案

解：双曲线的a=6，b=8，c=10．

不妨设点P为双曲线右支上的点，则|PF1|-|PF2|=12，

由|PF1|•|PF2|=，

可得（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|-|PF2|）2+4|PF1|•|PF2|=144+25=169，

即有|PF1|+|PF2|=13，

则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=13+20=33．

解析

解：双曲线的a=6，b=8，c=10．

不妨设点P为双曲线右支上的点，则|PF1|-|PF2|=12，

由|PF1|•|PF2|=，

可得（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|-|PF2|）2+4|PF1|•|PF2|=144+25=169，

即有|PF1|+|PF2|=13，

则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=13+20=33．

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线y2=-8x的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为______．

正确答案

2

解析

解：抛物线的焦点坐标为（-2，0）），准线方程为x=2．

则c=2．所以c2=m+3=4，解得m=1，

所以双曲线的离心率为e==2，

故答案为：2．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：

（1）双曲线的渐近线方程；

（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则

∵焦距是实轴长的2倍，

∴c=2a，

∴b==a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x；

（2）由余弦定理可得4c2=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，

∵焦距为10，

∴2c=10，2a=5

∴PF1•PF2=75．

∴S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=•75•=．

解析

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则

∵焦距是实轴长的2倍，

∴c=2a，

∴b==a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x；

（2）由余弦定理可得4c2=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，

∵焦距为10，

∴2c=10，2a=5

∴PF1•PF2=75．

∴S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=•75•=．

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题型：填空题

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填空题

双曲线kx2-y2=1的一个焦点是，则k=______．

正确答案

1

解析

解：由题设条件知=2，

∴k=1，

故答案为：1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（4，0），若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则a的取值范围是______．

正确答案

0＜a≤2

解析

解：∵过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

∴该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，

∴≥，

∴b2≥3a2，

∵c=4

∴16≥4a2，

∴0＜a≤2

故答案为：0＜a≤2．

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题型：填空题

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填空题

已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是______．（填上所有正确结论的序号）

正确答案

①③

解析

解：∵|PM|-|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x＞0），

①，把y=x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得7x2-18x-153=0，∵△=（-18）2-4×7×（-153）＞0∴y=x+1是“B型直线”．

②，把y=x代入双曲线（x＞0）并整理，得144=0，不成立．∴y=x不是“B型直线”．

③，把y=2代入双曲线（x＞0）并整理，得，∴y=2是“B型直线”．

④，把y=2x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得20x2+36x+153=0，∵△=362-4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直线”．

答案：①③．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为______．

正确答案

2

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，∴；

又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），∴渐近线的方程应是，而抛物线的准线方程为，因此，，

联立得，解得，

∴=2．

故双曲线的焦距为．

故答案为．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（b＞0）的左顶点为A1，右顶点A2，右焦点为F，点P为双曲线上一点，•=0，•=，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵点P为双曲线上一点，•=0，

∴P（c，），

∵A1（-，0），A2（，0），•=，

∴（--c，-）•（-c，-）=，

∴c2-3+=，

∴c2+-=0，

∴c=，

∴e===．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

双曲线=1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上的点，|PF1|=12，|PF2|=______．

正确答案

22或2

解析

解：双曲线=1中a=5，

∵|PF1|=12，

当P在双曲线的左支上时，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=10，∴|PF2|=22；

当P在双曲线的右支上时，

由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=10，∴|PF2|=2．

故答案是22或2．

故答案为：22或2．

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题型：单选题

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单选题

设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）

A4

B3

C2

D1

正确答案

C

解析

解：由题意，，

∴a=2，

故选：C．

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