双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

（2015•商丘一模）已知抛物线y2=4x与双曲线-=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（+）•=0，则双曲线的离心率为（　　）

A+2

B+1

C+1

D+1

正确答案

D

解析

解：由抛物线y2=4x的焦点F（1，0），

可得双曲线的焦点为F（1，0）和F‘（-1，0），

设A（m，n），B（m，-n）（m＞0，n＞0），

则=（1-m，-n），

由（+）•=0，

即为2m（1-m）+0=0，

解得m=1（0舍去），

即有A（1，2），

由双曲线的定义可得|AF'|-|AF|=2a，

即为2-2=2a，

即a=-1，

由e===．

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

设双曲线的右顶点A，x轴上有一点Q（2a，0），若双曲线上存在点P，使AP⊥PQ，则双曲线的离心率的取值范围是______．

正确答案

1＜e＜

解析

解：设点P（m，n），可得=（m-a，n），=（2a-m，-n）

∵AP⊥PQ，

∴•=（m-a）（2a-m）-n2=0…（1）

又∵P（m，n）在双曲线上

∴，得n2=b2（）…（2）

将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（）=0

化简整理，得-m2+3am+c2-3a2=0

此方程的一根为m1=a，另一根为m2=．

∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，

∴＞a，得3a2＞2c2，即e2＜

由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜

故答案为：1＜e＜

1

题型：简答题

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简答题

已知点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x=的距离的比是常数，求点M的轨迹方程．

正确答案

解：由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线：-=1（a＞0，b＞0）．

由题意得c=5，=，e==，解得a=4，

∴b2=c2-a2=9．

∴双曲线的方程为．

解析

解：由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线：-=1（a＞0，b＞0）．

由题意得c=5，=，e==，解得a=4，

∴b2=c2-a2=9．

∴双曲线的方程为．

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题型：简答题

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简答题

椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且经过定点

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线y=（x+1）交椭圆C于A，B两点，求线段AB的长．

正确答案

解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，

即，

∴，

又c=1，∴b2=a2-c2=1．…（4分）

故椭圆C的方程为．…（5分）

（2）联立方程组，

消去y得，2x2+2x-1=0且△=22-4×2×（-1）＞0，…8 分

设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2=-1，，…10 分

由弦长公式可得．…12 分

解析

解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，

即，

∴，

又c=1，∴b2=a2-c2=1．…（4分）

故椭圆C的方程为．…（5分）

（2）联立方程组，

消去y得，2x2+2x-1=0且△=22-4×2×（-1）＞0，…8 分

设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知x1+x2=-1，，…10 分

由弦长公式可得．…12 分

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•天水校级期末）已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

解析

解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，

所以点（-1，2）在双曲线上，得，即，

即，所以，

∵0＜a＜1，∴e2＞5，

故．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

直线y=x+b与双曲线2x2-y2=1相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求实数b的值．

正确答案

解：联立，消去y得，x2-2bx-1-b2=0．

∵直线y=x+b与双曲线2x2-y=1相交于A，B两点，

由△=（-2b）2+4（1+b2）=4+8b2＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1+x2=2b，x1x2=-1-b2．

所以y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2

=-1-b2+3b2=2b2-1，

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，

即为•=0，

所以x1x2+y1y2=0．

即-1-b2+2b2-1=0，

解得b=±．

所以b的值是±．

解析

解：联立，消去y得，x2-2bx-1-b2=0．

∵直线y=x+b与双曲线2x2-y=1相交于A，B两点，

由△=（-2b）2+4（1+b2）=4+8b2＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1+x2=2b，x1x2=-1-b2．

所以y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2

=-1-b2+3b2=2b2-1，

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，

即为•=0，

所以x1x2+y1y2=0．

即-1-b2+2b2-1=0，

解得b=±．

所以b的值是±．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1（b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其中一条渐近线方程为y=x，点P（x0，y0）在双曲线，求•的范围．

正确答案

解：双曲线-=1（b＞0）的渐近线方程为：y=x，

由于其中一条渐近线方程为y=x，则b=，

即有双曲线方程为：x2-y2=2．

即有左、右焦点分别是F1（-2，0），F2（2，0），

则•=（-2-x0，-y0）•（2-x0，-y0）=x02+y02-4

又点P（x0，y0）在双曲线上，即有x02-y02=2，

即y02=x02-2，

即有•=2x02-6，

由双曲线的性质，可得x02≥2，

则有•≥4-6=-2．

故所求范围是[-2，+∞）．

解析

解：双曲线-=1（b＞0）的渐近线方程为：y=x，

由于其中一条渐近线方程为y=x，则b=，

即有双曲线方程为：x2-y2=2．

即有左、右焦点分别是F1（-2，0），F2（2，0），

则•=（-2-x0，-y0）•（2-x0，-y0）=x02+y02-4

又点P（x0，y0）在双曲线上，即有x02-y02=2，

即y02=x02-2，

即有•=2x02-6，

由双曲线的性质，可得x02≥2，

则有•≥4-6=-2．

故所求范围是[-2，+∞）．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，

∴|BF1|=2a，

设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==

∴x=，y=，

∴B（，）

代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，

则c==a，

即有e==．

故选C．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2．若直线AB过原点，则k1•k2的值为______．

正确答案

3

解析

解：设M（x，y），A（x1，y1），B（-x1，-y1），则k1=，k2=

∴k1•k2==

∵

∴两式相减可得

∴

∵双曲线的离心率e=2，

∴

∴=3

∴k1•k2=3

故答案为3．

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题型：填空题

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填空题

双曲线C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为______．

正确答案

解析

解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，

∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|

∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a

又∵|AF2|-|AF1|=2a，

∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，

∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°

∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°

即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-）=28a2，解之得c=a，

由此可得双曲线C的离心率e==

故答案为：

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