双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2分别为双曲线C：=1（a，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设以F1F2为直径的圆与渐近线y=x相交与点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），

根据对称性得N点的坐标为（-x0，-y0），

∴；

解得M（a，b），N（-a，-b）；

又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，

∴由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2•bcos 120°，

化简得7a2=3c2，

∴e==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的双曲线的渐近线夹角为______．

正确答案

解析

解：由题意可得点OA=OB=2，AC=5

设双曲线的标准方程是．

则2a=AC-BC=5-3=2，

所以a=1．

所以b2=c2-a2=4-1=3．

所以双曲线的标准方程：，

故双曲线的渐近线的方程为：y=x，

∴双曲线的渐近线夹角为．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1的离心率e＞1+，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？

正确答案

解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知

==e，即|PF2|=e|PF1|①

再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②

由①②，解得|PF1|=，|PF2|=，

∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，

∴+≥2c．③

利用e=，由③得e2-2e-1≤0，

解得1-≤e≤1+．

∵e＞1，

∴1＜e≤1+与已知e＞1+矛盾．

∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．

解析

解：设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|•d，由双曲线的第二定义知

==e，即|PF2|=e|PF1|①

再由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a．②

由①②，解得|PF1|=，|PF2|=，

∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，

∴+≥2c．③

利用e=，由③得e2-2e-1≤0，

解得1-≤e≤1+．

∵e＞1，

∴1＜e≤1+与已知e＞1+矛盾．

∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．

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题型：填空题

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填空题

设F1，F2分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为为直径的圆交双曲线的某条渐近线于MN两点（M在x轴上方，N在x轴下方），c为双曲线的半焦距，O为坐标原点．则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．

①|OM|=|ON|=c；

②点N的坐标为（a，b）；

③∠MAN＞90°；

④若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；

⑤若∠MAN=120°，且△AMN的面积为2，则双曲线C的方程为-=1．

正确答案

①③④⑤

解析

解：对于①，由以F1，F2为为直径的圆

交双曲线的某条渐近线于MN两点，

则|OM|=|ON|=c正确；

对于②，令渐近线方程为y=x，

代入圆x2+y2=c2=a2+b2，解得，M（a，b），N（-a，-b），

则②错误；

对于③，由于A（-a，0），M（a，b），N（-a，-b），=（2a，b），=（0，-b），

=-b2＜0，则∠MAN＞90°正确；

对于④，M（a，b），N（-a，-b）；又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，

∴由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2•bcos 120°，

化简得7a2=3c2，∴e==．④正确；

对于⑤，由④得e==，△AMN的面积为2，则有ab×2=2，

再由a2+b2=c2，解得，a=，b=2，即有双曲线C的方程为-=1．则⑤正确．

故答案为：①③④⑤．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线Γ：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为的直线l经过双曲线Γ的右焦点F2与双曲线Γ在第一象限交于点，若△PF1F2是等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为（　　）

A

B+1

C

D

正确答案

D

解析

解：斜率为的直线l，其倾斜角为60°，

△PF1F2是等腰三角形，即有|PF2|=|F1F2|=2c，

则有P（c+2ccos60°，2csin60°），即为P（2c，c）．

代入双曲线方程-=1，

即有-=1，

由离心率公式e=，b2=c2-a2，

即有4e2-=1，

化简可得4e4-8e2+1=0，解得

e2=1，

由e＞1，解得e=．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•福建校级月考）若双曲线=1的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为______．

正确答案

2

解析

解：双曲线=1的渐近线方程为y=±，

即±ay=0，

圆（x-2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，

由圆的弦长公式得弦心距|CD|==，

另一方面，圆心C到双曲线的渐近线-ay=0的距离为

d==，

所以d==，

解得a2=1，即a=1，

该双曲线的实轴长为2a=2．

故答案为：2．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线y2-=1的中心在原点O，双曲线两条渐近线与抛物线y2=mx交于A，B两点，且S△OAB=9，则双曲线的离心率为（　　）

A

B2

C

D

正确答案

B

解析

解：双曲线y2-=1的两条渐近线方程为y=±，

与抛物线y2=mx联立可得x=m2，∴A（m，m），B（m，-m），

∵S△OAB=9，

∴•2m•m=9，

∴m=3，

∴c2=1+m=4，

∴c=2

∴双曲线的离心率为2．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

D

解析

解：如图，设P（x，y），

根据题意可得F1（-c，0）、F2（c，0），

双曲线的渐近线为：y=x，

直线PF2的方程为：y=（x-c），①

直线PF1的方程为：y=-（x+c），②

又点P（x，y）在双曲线上，∴-=1，③

联立①③，可得x=，

联立①②，可得x=•c=，

∴=，

∴a2+a2+b2=2b2-2a2，

∴b2=4a2，

∴e=====，

故选：D．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线=1的渐近线方程为（　　）

Ay=±3x

By=±x

Cy=±x

Dy=±x

正确答案

D

解析

解：∵双曲线方程为，∴a=，b=1

∴渐近线方程为y=±

即y=

故选D

1

题型：填空题

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填空题

以双曲线-=1的左焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是______．

正确答案

（x+5）2+y2=16

解析

解：双曲线-=1的左焦点为（-5，0），

渐近线方程是4x±3y=0，

∴圆心（-5，0），半径r=，

∴圆的标准方程为（x+5）2+y2=16．

故答案为：（x+5）2+y2=16．

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