双曲线_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件是k∈______．

正确答案

（1，3）

解析

解：由题意知，

解得1＜k＜3．

故答案：（1，3）．

1

题型：填空题

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填空题

设点A为双曲线的右顶点，则点A到该双曲线的一条渐近线的距离是______．

正确答案

解析

解：双曲线的渐近线方程为y=，即x±y=0，右顶点A（，0），

∴点A到该双曲线的一条渐近线的距离是=．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率e为______．

正确答案

2

解析

解：∵y2=4x的准线l：x=-1，

∵抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，

∴A（-1，），B（-1，- ），

将A点坐标代入双曲线渐近线方程得=，

∴b2=3a2，

∴3a2=c2-a2，

即4a2=c2，

∴e==2．

则双曲线的离心率e为2．

故答案为：2．

1

题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：ax2-y2=1（a＞0）

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过，求实数a的取值范围

（2）设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切且，求双曲线的方程．

正确答案

解：（1）双曲线C1：-y2=1，左顶点A（-，0），渐近线方程y=±x，

过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，

解方程组，得x=-，y=．

∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=••=，

由S≤，解得a≥2；

（2）设直线PQ的方程是y=x+b，

∵直线PQ与已知圆相切，∴=1，解得b2=2，

由，得（a-1）x2-2bx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

又y1y2=（x1+b）（x2+b），

由，∴•=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2

=2•+2b2•+b2=0，

即为-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，

即有双曲线的方程为2x2-y2=1．

解析

解：（1）双曲线C1：-y2=1，左顶点A（-，0），渐近线方程y=±x，

过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，

解方程组，得x=-，y=．

∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=••=，

由S≤，解得a≥2；

（2）设直线PQ的方程是y=x+b，

∵直线PQ与已知圆相切，∴=1，解得b2=2，

由，得（a-1）x2-2bx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

又y1y2=（x1+b）（x2+b），

由，∴•=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2

=2•+2b2•+b2=0，

即为-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，

即有双曲线的方程为2x2-y2=1．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）过正六边形的四个顶点，焦点恰好是另外两个顶点，则双曲线的离心率为______．

正确答案

+1

解析

解：设正六边形ABCDEF的边长为1，中心为O，以AD所在直线为x轴，以O为原点，建立直角坐标系，则c=1，

在△AEF中，由余弦定理得AE2=AF2+EF2-2AF•EFcos120°=1+1-2（-）=3，

∴AE=，2a=AE-DE=-1，

∴a=，

∴e===+1，

故答案为：+1．

1

题型：简答题

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简答题

已知顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线，焦点F在直线2x+3y-4=0上．求抛物线的方程．

正确答案

解：∵焦点在直线2x+3y-4=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，

∴焦点F的坐标为（2，0），

设方程为y2=2px（p＞0），则=2，

求得p=4，

∴则此抛物线方程为y2=8x．

解析

解：∵焦点在直线2x+3y-4=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，

∴焦点F的坐标为（2，0），

设方程为y2=2px（p＞0），则=2，

求得p=4，

∴则此抛物线方程为y2=8x．

1

题型：填空题

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填空题

给出下列命题：

①若y=f（x）是定义在R上的函数，则f‘（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取得极值的必要不充分条件．

②用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有18个．

③已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2，若|x1-x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为．

④若P为双曲线x2-=1上一点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，且|PF2|=4，则|PF1|=2或6．

其中正确命题的序号是______（把所有正确命题的序号都填上）．

正确答案

②③

解析

解：对于①，先说明充分性不成立，

例如函数y=|x|，在x=0处取得极小值f（0）=0，但f′（x）在x=0处无定义，

说明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；

再说明必要性不成立，设函数f（x）=x3，则f′（x）=3x2在x=0处，f′（x）=0，但x=0不是函数f（x）的极值点，故必要性质不成立．故①错；

对于②，由题意，

若2在末位，则需要从余下的三个数中选出三个数排在百位、千位与万位，故不同的排法有A33=6种

若2不在末位，则必有4在末位，由此，2，3二数先捆在一起，再与两奇数一起参加排列，总的排法有A22×A33=12，

综上由数字1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的五位数中，2和3相邻的偶数共有6+12=18个．故②正确；

对于③：∵y=2sin（wx+θ）为偶函数∴θ=+kπ k∈z 又∵0＜θ＜π∴θ=

由诱导公式得函数y=2coswx 又∵其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2-x1|的最小值为π

∴函数的周期为π 即 w=2．故③正确；

对于④：∵双曲线的a=1，b=3，c=，

由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2，

∴|PF1|-4=±2，

∴|PF1|=6或2，但是|PF1|≥c-a=-1，故|PF1|=2舍去．故④错．

故答案为：②③．

1

题型：填空题

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填空题

已知直线l过双曲线C：3x2-y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p=______．

正确答案

6

解析

解：3x2-y2=9的右顶点为（，0），双曲线C的一条渐近线方程为y=x，

∴直线l的方程为y=x-3，

∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，

∴=3，∴p=6．

故答案为：6．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的顶点与双曲线-=1的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程．

正确答案

解：双曲线-=1的焦点为（±4，0），

则椭圆的顶点为（±4，0），

由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，

双曲线的离心率为=2，

由于它们的离心率之和为，

则椭圆的离心率为，即有c=2，

b===2．

则有椭圆方程为=1．

解析

解：双曲线-=1的焦点为（±4，0），

则椭圆的顶点为（±4，0），

由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，

双曲线的离心率为=2，

由于它们的离心率之和为，

则椭圆的离心率为，即有c=2，

b===2．

则有椭圆方程为=1．

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题型：单选题

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单选题

双曲线-=1（a＞0，b＞0），M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1•k2=，则双曲线离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

B

解析

解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（-x1，-y1）

∴kPM•kPN=•=，

∵=1，-=1，

∴两式相减可得=

∵kPM•kPN=，

∴=，

∴b=a，

∴c==a，

∴e==．

故选：B．

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