双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

设F为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F且斜率为-1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若=-3，则双曲线C的离心率e=（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设F（c，0），则过双曲线：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F

作斜率为-1的直线为：y=-（x-c），

而渐近线的方程是：y=x，

由得：B（，-），

由得，A（，），

=（，-），=（，-），

由=-3，则=-3•，

即有b=a，则c==a，

则e==．

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

在△ABC中，AB=4，BC=6，∠CBA=，．若双曲线Γ以AB为实轴，且过点C，则Γ的焦距为______．

正确答案

8

解析

解：如图，设双曲线方程为，

则由题意，2a=4，a=2，

在△ABC中，AB=4，BC=6，∠CBA=，

∴C的横坐标为-（-2）=-4，纵坐标为．

∵双曲线过点C，

则，解得：b2=12，

∴c2=a2+b2=16，c=4．

则Γ的焦距为8．

故答案为：8．

1

题型：填空题

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填空题

若F是双曲线的一个焦点，P1、P2、P3、P4是双曲线上同一支上任意4个不同的点，且，则=______．

正确答案

6

解析

解：不妨设F是双曲线的左焦点，则F（-，0）

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），

∵，

∴（（x1+，y1）+（（x2+，y2）+（（x3+，y3）+（x4+，y4）=（0，0）

∴x1+x2+x3+x4=-4

∵，，，

∴=-8-（x1+x2+x3+x4）=-8-=6

故答案为：6．

1

题型：单选题

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单选题

（2015春•仁寿县校级期中）已知P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是（　　）

A双曲线的焦点到渐近线的距离为a

B若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为

C△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b

D若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M，则=e．

正确答案

D

解析

解：双曲线的焦点（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为=b，故A不正确；

若|PF1|=e|PF2|，则|PF1|-|PF2|=（e-1）|PF2|=2a，

∴2a≥（e-1）（c-a），∴2≥（e-1）2，∴1＜e≤+1，∴e的最大值为+1，故B不正确；

如图所示：F1（-c，0）、F2（c，0），设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M、N，

∵由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2 |=2a，

即|HF1|-|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，

故（x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．故C不正确；

利用三角形外角平分线的性质，结合双曲线的定义，可知结论正确．

故选：D

1

题型：简答题

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简答题

双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，直线x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于．

（1）求双曲线S的方程；

（2）设经过点（-2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．

正确答案

解：（1）e==，又a2+b2=c2，

设右焦点为（c，0），由题意可得d==，

解得c=，b=1，a=，

可得双曲线的方程为-y2=1；

（2）设直线AB：y=k（x+2），

当k=0时，可得A（-，0），B（，0），

即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形；

当k≠0时，代入双曲线的方程可得

（1-2k2）x2-8k2x-8k2-2=0，

判别式△=64k4+4（1-2k2）（8k2+2）=8+16k2＞0恒成立，

x1+x2=，则AB的中点M坐标为（，），

由题意可得PM⊥AB，可得kPM=-，

即有=-，解得k=．

综上可得k=0，或k=．

解析

解：（1）e==，又a2+b2=c2，

设右焦点为（c，0），由题意可得d==，

解得c=，b=1，a=，

可得双曲线的方程为-y2=1；

（2）设直线AB：y=k（x+2），

当k=0时，可得A（-，0），B（，0），

即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP

是以AB为底的等腰三角形；

当k≠0时，代入双曲线的方程可得

（1-2k2）x2-8k2x-8k2-2=0，

判别式△=64k4+4（1-2k2）（8k2+2）=8+16k2＞0恒成立，

x1+x2=，则AB的中点M坐标为（，），

由题意可得PM⊥AB，可得kPM=-，

即有=-，解得k=．

综上可得k=0，或k=．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则该双曲线的离心率等于______．

正确答案

解析

解：双曲线的渐近线方程为，函数y=x3+2，求导函数可得y=3x2，

设切点坐标为（m，n），则

∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，

∴，∴m=1，=3，∴b=3a，

∴c2=a2+b2=10a2，∴

∴e==

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

双曲线方程为，过右焦点F向一条渐近线做垂线，垂足为M，如图所示，已知∠MFO=30°（O为坐标原点），则其离心率为（　　）

A

B

C

D2

正确答案

D

解析

解：依题意可知，其中一个渐近线的方程y=x，

|OF|=c=，F（，0）

|MF|==a

∵∠MFO=30°

∴|OF|=2|MF|，即c=2a

∴e==2

故选D

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1上一点P到焦点F1的距离为8，则P到焦点F2的距离为______．

正确答案

2或14

解析

解：由双曲线的定义，可得||PF2|-|PF1||=2a=6，

因为|PF1|=8，所以|PF2|=2或14．

故答案为：2或14．

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题型：填空题

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填空题

若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线-=1的一个焦点重合，则n的值为______．

正确答案

1

解析

解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），

双曲线-=1的右焦点为（，0），

由题意可得，=2，

解得n=1，

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

点M为双曲线-y2=1右支上任一点，点A（3，0）与点M连线段长的最小值．

正确答案

解：设M（x，y）（x≥），则

AM==，

∴x=时，点A（3，0）与点M连线段长的最小值为．

解析

解：设M（x，y）（x≥），则

AM==，

∴x=时，点A（3，0）与点M连线段长的最小值为．

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