双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点F1、F2都在x轴上，记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1（F1为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为______．

正确答案

解析

解：设|PF1|+|PF2|=2a′，|PF1|-|PF2|=2a，

∵△PF1F2是以PF1（F1为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为3，

∴|PF2|=2c，=2，

∴a=，

∴|PF1|=3c，

∴5c=2a′，

∴=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知平行于直线2x-y+1=0的直线l与双曲线-=1交于A，B两点，且|AB|=4．

（1）求直线l的方程

（2）求△AOB的面积，O为原点．

正确答案

解：（1）设平行于直线2x-y+1=0的直线l：2x-y+t=0，

联立双曲线方程2x2-3y2=6，

消去y，得10x2+12tx+3t2+6=0，

判别式144t2-40（3t2+6）＞0，解得，t2＞10．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，

则|AB|=•==4，

解得，t2=＞10成立，即有t=

则直线l的方程为y=2x；

（2）原点到直线l的距离d==，

则△AOB的面积S=|AB|==．

解析

解：（1）设平行于直线2x-y+1=0的直线l：2x-y+t=0，

联立双曲线方程2x2-3y2=6，

消去y，得10x2+12tx+3t2+6=0，

判别式144t2-40（3t2+6）＞0，解得，t2＞10．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，

则|AB|=•==4，

解得，t2=＞10成立，即有t=

则直线l的方程为y=2x；

（2）原点到直线l的距离d==，

则△AOB的面积S=|AB|==．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C1：与双曲线C2：（b2＞0）的焦点相同，离心率之和为．

（1）求b1、b2的值；

（2）设C1与C2在第一象限的交点为P，求点P到椭圆左焦点的距离．

正确答案

解：（1）∵双曲线与椭圆的焦点相同，

∴c1=c2，

∵离心率之和为，∴，…（4分）

∴c1=c2=2，

∴． …（8分）

（2）椭圆与双曲线有相同的焦点，设左、右焦点分别为F1，F2，

则由椭圆的定义知PF1+PF2=6（1）…（10分）

由双曲线的定义知PF1-PF2=2（2）…（12分）

由（1）+（2）得PF1=4

点P到椭圆左焦点的距离为4． …（15分）

解析

解：（1）∵双曲线与椭圆的焦点相同，

∴c1=c2，

∵离心率之和为，∴，…（4分）

∴c1=c2=2，

∴． …（8分）

（2）椭圆与双曲线有相同的焦点，设左、右焦点分别为F1，F2，

则由椭圆的定义知PF1+PF2=6（1）…（10分）

由双曲线的定义知PF1-PF2=2（2）…（12分）

由（1）+（2）得PF1=4

点P到椭圆左焦点的距离为4． …（15分）

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题型：填空题

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填空题

已知F1，F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，

延长F2A交PF1于Q，

∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF2，

∵P在双曲线上，∴PF1-PF2=2a，

∴PF1-PQ=QF1=2b，

∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，

∴OA是F2F1Q的中位线，∴QF1=2a=2OA=2，

∴a=1，c=，

∴双曲线的离心率e=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若4a2-3b2=12，则|2a-b|的最小值是______．

正确答案

2

解析

解：4a2-3b2=12，即为-=1，

可设a=secα，b=2tanα，

则有2a-b=2secα-2tanα=2•（）

可令=t，

即有=sinα+tcosα=sin（α+θ）（θ为辅助角），

由于|sin（α+θ）|≤1，即1+t2≥3，

解得|t|，

则有|2a-b|=|2t|．

则最小值为2．

故答案为：2

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题型：单选题

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单选题

如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点坐标是（-，0）和（，0），那么它的两条准线之间的距离是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵双曲线的焦点坐标是（-，0）和（，0），

∴设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）

由渐近线的方程是，得=…①

又有a2+b2=26…②

将①②联解，得a=2，b=3，

因此，双曲线的准线方程为x=，即x=

可得两条准线之间的距离是

故选：A

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题型：填空题

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填空题

已知焦点在x轴上的椭圆C1：=1和双曲线C2：=1的离心率互为倒数，它们在第一象限的交点坐标为（，），则双曲线C2的标准方程为______．

正确答案

解析

解：（1）把点（，），代入椭圆=1，解得a2=16，a=4．

∴椭圆C1，c2=a2-b2=4，即c=2．

∴椭圆C的离心率为e1=，∴双曲线C2的离心率为e2=2，

由题意可得，解得，

∴双曲线C2为：．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率等于______．

正确答案

解析

解：焦点在x轴上的双曲线=1的渐近线方程为

y=x，

由题意可得，=，

即b=a，c===a，

即有e==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知过点P（O，1）斜率为k的直线l交双曲线x2-=1于A，B两点．

（1）求k的取值范围；

（2）当k=1时，求△AOB的面积．

正确答案

解：（1）设直线l：y=kx+1，

代入双曲线的方程可得，

（3-k2）x2-2kx-4=0，

由3-k2≠0，△＞0，可得

k≠±，且4k2+16（3-k2）＞0，

解得-2＜k＜2且k≠±；

（2）由k=1，可得直线y=x+1，

代入双曲线的方程，可得x2-x-2=0，

解得x=2或-1，

即有A（2，3），B（-1，0），

则△AOB的面积为×3×1=．

解析

解：（1）设直线l：y=kx+1，

代入双曲线的方程可得，

（3-k2）x2-2kx-4=0，

由3-k2≠0，△＞0，可得

k≠±，且4k2+16（3-k2）＞0，

解得-2＜k＜2且k≠±；

（2）由k=1，可得直线y=x+1，

代入双曲线的方程，可得x2-x-2=0，

解得x=2或-1，

即有A（2，3），B（-1，0），

则△AOB的面积为×3×1=．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线-=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足是恰在线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设垂足为D，

根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=x，

焦点为F（，0）

D点坐标（，）

∴kDF==-，

∵OD⊥DF

∴kDF•kOD=-1

∴=，即a=b

∴e===．

故选B．

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