双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知，则双曲线C1：与C2：的（　　）

A实轴长相等

B虚轴长相等

C离心率相等

D焦距相等

正确答案

D

解析

解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；

双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；

所以两条双曲线的焦距相等．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（　　）

A

B+1

C

D

正确答案

B

解析

解：取PF2的中点A，则=2

∵（）•=0，∴2•=0

∴⊥

∵O是F1F2的中点

∴OA∥PF1，

∴PF1⊥PF2，

∵|PF1|=|PF2|，

∴2a=|PF1|-|PF2|=（-1）|PF2|，

∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，

∴c=|PF2|，

∴e===

故选B

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题型：填空题

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填空题

如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率e为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，

∴（2b）2=（2a）•（2c）

∴b2=ac，

又∵b2=c2-a2

∴c2-a2=ac

∴e2-e-1=0

∴e=，

又在双曲线中e＞1

∴e=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的方程为x2-=1，如图，点A的坐标为（-，0），B是圆x2+（y-）2=1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|+|MB|的最小值．

正确答案

解：设点D的坐标为（，0），则点A，D是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=2．

∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，

又B是圆x2+（y-）2=1上的点，圆的圆心为C（0，），

半径为1，故|BD|≥|CD|-1=-1，从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1，

当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+1．

解析

解：设点D的坐标为（，0），则点A，D是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得|MA|-|MD|=2a=2．

∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，

又B是圆x2+（y-）2=1上的点，圆的圆心为C（0，），

半径为1，故|BD|≥|CD|-1=-1，从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1，

当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0）的一条渐近线为y=kx（k＞0），离心率e=，则双曲线方程为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线方程为（a＞0），

∴该双曲线的渐近线方程为y=，

又∵双曲线一条渐近线为y=kx，∴k=

双曲线的离心率e=k，即e=•

∴=•，得c=，a==2

因此，双曲线方程为

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

A4x±3y=0

B3x±4y=0

C4x±5y=0

D5x±4y=0

正确答案

A

解析

解：椭圆的长轴端点为（±5，0），焦点为（±3，0）．

由题意可得，对双曲线C，焦点（±5，0），实轴端点为（±3，0），∴a=3，c=5，b=4，

故双曲线C的方程为，故渐近线方程为 y=±，即 4x±3y=0，

故选A．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•吉林校级月考）已知双曲线-=1，（a＞b＞0），A1，A2是双曲线实轴的两个端点，MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，则A1M与A2N交点的轨迹方程是（　　）

A+=1

B+=1

C-=1

D-=1

正确答案

A

解析

解：∵A1、A2是双曲线的左、右顶点，∴A1（-a，0），A2（a，0）

∵MN是双曲线-=1的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x0，y0），则N（x0，-y0）

则直线MA1和NA2的方程分别为y=（x+a），y=（x-a）

联立两方程，解得x0=，y0=，

∵M（x0，y0）在双曲线上，代入双曲线方程，得+=1

即直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程为+=1．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

如图所示，直线x=2与双曲线C：的渐近线交于E1，E2两点，记=，=，任取双曲线C上的点P，若=a+b，则实数a和b满足的一个等式是______．

正确答案

4ab=1

解析

解：∵双曲线C的方程是

∴双曲线C的渐近线方程为y=±x

∴直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E1（2，1）、E1（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1），

设双曲线C上的点P坐标为（x0，y0），

∵=a+b，

∴，即点P坐标为（2a+2b，a-b）

∵点P在双曲线C：上

∴-（a-b）2=1，即4ab=1

故答案为：4ab=1

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题型：单选题

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单选题

双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（　　）

A2

B

C4

D

正确答案

D

解析

解：由题意可知，双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线，

设等轴双曲线C的方程为y2-x2=λ，（1）

抛物线y2=4x，则2p=4，p=2，∴，

∴抛物线的准线方程为x=-1．

设等轴双曲线与抛物线的准线x=-1的两个交点A（-1，y），B（-1，-y）（y＞0），

则|AB|=|y-（-y）|=2y=4，∴y=2．

将x=-1，y=2代入（1），得22-（-1）2=λ，∴λ=3，

∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=3，

即，

∴C的实轴长为．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

F（-c，0）是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y2=4cx上一点，直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2+2，则双曲线的实轴长为（　　）

A

B

C4

D2

正确答案

C

解析

解：抛物线y2=4cx的焦点F2（c，0）

∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点，PE=EF

∴OE为直线FP的中垂线（O为原点），

∴OP=OF=c，

又FF2=2c，O为FF2中点，OP=c，

∴∠FPF2=90°，

∵EO=a，∴PF2=2a，

PF2=FF22-FPF22=4c2-4a2，

抛物线y2=4cx的准线方程为x=-c，

由抛物线的定义可得PF2═xP+c=2a，

则xP=2a-c，

即有P（2a-c，±），

PF2=4a2+4c（2a-c），

则4c2-4a2=4a2+4c（2a-c），

即c2=ac+a2

∵双曲线的焦距为2+2，

∴a2+（1+）a-（1+）2=0

∴a=，

∴a1=2，a2=--3 （舍）

∴实轴长为4．

故选C．

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