双曲线_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，

则顶点到渐近线的距离d=．

故选C．

1

题型：填空题

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填空题

已知P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1（-c，0），F2（c，0）分别是左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为______．

正确答案

a

解析

解：如图所示：F1（-a，0）、F2（a，0），

设内切圆与x轴的切点是点H，

PF1、PF2与内切圆的切点分别为M、N，

∵由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，

由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2 |=2a，

即|HF1|-|HF2|=2a，

设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，

故（x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．

故答案为：a．

1

题型：单选题

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单选题

设F1、F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2-1

D

正确答案

D

解析

解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，

则△BAF2为等边三角形，

设AF2=t，则AB=BF2=t，

由双曲线的定义可得，

AF1-AF2=2a，BF2-BF1=2a，AF1=AB+BF1，

即有t+2a=2t-2a，

解得，t=4a，

AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，

由余弦定理可得，

F1F22=AF12+AF22-2AF1•AF2cos60°，

即有4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×，

即为4c2=28a2，

则有e==．

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，且双曲线的一条渐近线被圆（x-3）2+y2=8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±2x

By=±x

Cy=±x

Dy=±2x

正确答案

B

解析

解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），

∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

∴c=3，

∵双曲线的一条渐近线被圆（x-3）2+y2=8截得的弦长为4，

∴圆心到渐近线的距离为2，

设渐近线方程为bx+ay=0，则=2，

∴b=2，

∴a=，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知点F、A分别为双曲的左焦点、右顶点，点B（0，b）满足，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵

∴FB⊥AB

∴|FB|2+|AB|2=|FA|2，

即c2+b2+a2+b2=（a+c）2，整理得c2-a2-ac=0，等式除以a2得

e2-e-1=0

求得e=（舍负）

∴e=

故选D

1

题型：单选题

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单选题

设F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O 为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵=

∴，

得-=0，所以==c

∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥

∵，

∴设，，（λ＞0）

得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ=c

∴c，c

由双曲线的定义，得2a=||=c

∴双曲线的离心率为e==

故选A

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的离心率的范围．

正确答案

解：根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则=无意义．

因为在△PF1F2中，由正弦定理得=．

又由已知，得，即|PF1|=|PF2|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得

|PF1|-|PF2|=2a，则|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=，由双曲线的几何性质，知

|PF2|＞c-a，则＞c-a，即c2-2ac-a2＜0，∴e2-2e-1＜0，解得-＜e＜，

又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，）．

解析

解：根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则=无意义．

因为在△PF1F2中，由正弦定理得=．

又由已知，得，即|PF1|=|PF2|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得

|PF1|-|PF2|=2a，则|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|=，由双曲线的几何性质，知

|PF2|＞c-a，则＞c-a，即c2-2ac-a2＜0，∴e2-2e-1＜0，解得-＜e＜，

又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，）．

1

题型：单选题

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单选题

已知F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C

D

正确答案

B

解析

解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，

∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|

∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a

又∵|AF2|-|AF1|=2a，

∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，

∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°

∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°

即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-）=28a2，解之得c=a，

由此可得双曲线C的离心率e==．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线的倾斜角等于60°，则双曲线C的离心率等于（　　）

A

B

C

D2

正确答案

D

解析

解：由题意，=tan60°=，

∴e2=1+（）2=4，

∴e=2，

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

已知点P的双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S+λS成立，则λ的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，

S△IPF1 =|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，=•2c•r=cr，

由题意得，|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，故 λ===，

故选：B．

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