双曲线_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题

以双曲线-=1的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是（　　）

A（x+10）2+y2=100

B（x-10）2+y2=64

C（x+10）2+y2=36

D（x-10）2+y2=36

正确答案

D

解析

解：由双曲线-=1可得a2=64，b2=36，

∴渐近线方程为y=±x，且右焦点为（10，0）即为圆心．

∵所求的圆与渐近线相切，

∴由点到直线的距离公式可得：r==6

故所求的圆的方程为（x-10）2+y2=36．

故选：D．

1

题型：单选题

|

单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是双曲线C上的点，N（-x0，-y0），连接MF2并延长MF2交双曲线C于P，连接NF2，PN，若△NF2P是以∠NF2P为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

Ay=±2x

By=±4x

Cy=±x

Dy=±x

正确答案

C

解析

解：如图，设F1为双曲线左焦点，连接MF1，NF1，则：

由对称性可知四边形F1NF2M为平行四边形；

又∠MF2N=90°；

∴F1NF2M为矩形；

设MF2=x，则MF1=2a+x；

∴PF2=NF2=MF1=2a+x；

∴PF1=2a+PF2=4a+x；

在Rt△MF1F2中有：（2a+x）2+x2=4c2 ①；

在Rt△MF1P中有：（2a+x）2+（2a+2x）2=（4a+x）2 ②；

由②解得，x=a，代回①得：9a2+a2=4c2；

∴；

∴渐近线方程为：y=．

故选C．

1

题型：单选题

|

单选题

当a≥b＞0时，双曲线-=1的离心率e的取值范围是（　　）

A（0，]

B[，1）

C（1，]

D[，+∞）

正确答案

C

解析

解：双曲线-=1的离心率e==，

∵a≥b＞0，

∴0＜，

∴1＜e≤，

故选：C．

1

题型：单选题

|

单选题

双曲线的渐近线方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵双曲线中，a=3，b=2

∴双曲线的渐近线方程y=，即

故选：A

1

题型：填空题

|

填空题

我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“合一曲线”，已知F1，F2是一对“合一曲线”的焦点，P是他们在第一象限的交点，当|PF1|=10，|PF2|=8时，这一对“合一曲线”中椭圆的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意可知，椭圆中，2a1=10+8=18，，

双曲线中，2a2=10-8=2，，

∵e1•e2=1，∴，c=3．

则．

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且•=0，则此双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵•=0，

即AB⊥BF，∴∠ABF=90°，

由射影定理得OB2=OF•OA，

∴b2=ca，

又∵c2=a2+b2，

∴c2=a2+ca，

∴a2+ca-c2=0，

∴1+e-e2=0，

解得e=或e=（舍），

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

双曲线=1的一个顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：设a＞0，则双曲线=1的一个顶点为（a，0），

一条渐近线方程为y=x，即为2x-ay=0，

由一个顶点到一条渐近线的距离为，

可得=，

解得a=2，

即有c=2，

e==．

故答案为：．

1

题型：简答题

|

简答题

设双曲线两焦点F1（-c，0），F2（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求证：．

正确答案

解：在△PF1F2中，，

∴，

∴=

∴（a+c）=，

∴．

解析

解：在△PF1F2中，，

∴，

∴=

∴（a+c）=，

∴．

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线C：-=1（a＞0．b＞0）与椭圆+=1有共同的焦点，点A（3，）在双曲线C上．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）

由双曲线定义||AF1|-|AF2||=2a，

∴-=2a

∴a=，

∴b2=2

∴所求双曲线为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵A、B在双曲线上

∴代入双曲线，两方程相减得：（x1-x2）（x1+x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0

∵P（1，2）为中点，

∴kAB=，

∴弦AB的方程为y-2=（x-1），即x-2y+3=0

经检验x-2y+3=0为所求直线方程．

解析

解：（Ⅰ）由已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）

由双曲线定义||AF1|-|AF2||=2a，

∴-=2a

∴a=，

∴b2=2

∴所求双曲线为；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵A、B在双曲线上

∴代入双曲线，两方程相减得：（x1-x2）（x1+x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0

∵P（1，2）为中点，

∴kAB=，

∴弦AB的方程为y-2=（x-1），即x-2y+3=0

经检验x-2y+3=0为所求直线方程．

1

题型：填空题

|

填空题

有下列命题：①双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；②（lnx）′=；③（tanx）′=；④（）′=；⑤∀x∈R，x2-3x+3≠0．其中是真命题的有：______．（把你认为正确命题的序号都填上）

正确答案

①③⑤

解析

解：对于①双曲线中c2=25+9=24，椭圆c2=35-1=34，且焦点都在x轴上，故正确；

对于，故不正确；对于，故正确；

对于故不正确；

对于⑤△＜0，故正确，

故答案为①③⑤

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析