双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：双曲线=1的顶点（），渐近线方程为：y=，

双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为：=．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，

∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，

得 =，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）

∴该双曲线的离心率是e==．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

作出直线l1：一=1和l2：一=1的图．

正确答案

解：不妨设a＞0，b＞0，

则=1解得，y==-b-，

则一=1的图象可由双曲线y=先向右平移a个单位，

再向下平移b个单位得到，

则它关于点A（a，-b）对称，如右图：

同样，一=1可得，y=-a-，

则一=1的图象可由双曲线y=先向右平移b个单位，

再向下平移a个单位得到，

则它关于点B（b，-a）对称，如右图：

解析

解：不妨设a＞0，b＞0，

则=1解得，y==-b-，

则一=1的图象可由双曲线y=先向右平移a个单位，

再向下平移b个单位得到，

则它关于点A（a，-b）对称，如右图：

同样，一=1可得，y=-a-，

则一=1的图象可由双曲线y=先向右平移b个单位，

再向下平移a个单位得到，

则它关于点B（b，-a）对称，如右图：

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题型：简答题

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简答题

双曲线的离心率等于2，且与椭圆+=1有相同的焦点，

（1）求此双曲线的标准方程．

（2）求此双曲线的焦点到渐近线距离．

正确答案

解：（1）椭圆+=1的焦点为（±4，0），

则双曲线的c=4，可设双曲线方程为=1，

由双曲线的离心率等于2，则=2，则有a=2，

b==2．

则双曲线的标准方程为=1；

（2）设双曲线的一个焦点为（4，0），一条渐近线方程为y=x，

则焦点到渐近线的距离为d==2．

解析

解：（1）椭圆+=1的焦点为（±4，0），

则双曲线的c=4，可设双曲线方程为=1，

由双曲线的离心率等于2，则=2，则有a=2，

b==2．

则双曲线的标准方程为=1；

（2）设双曲线的一个焦点为（4，0），一条渐近线方程为y=x，

则焦点到渐近线的距离为d==2．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-2），则双曲线的焦距为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-2），

即点（-1，-2）在抛物线的准线上，则p=2，

则抛物线的焦点为（1，0）；

则双曲线的左顶点为（-3，0），即a=3；

点（-1，-2）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，

由双曲线的性质，可得b=6；

则c==3，则焦距为2c=6

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

（2015春•杭州校级期中）设F1、F2是双曲线-=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值为（　　）

A2

B2

C4

D8

正确答案

C

解析

解：设||=m，||=n，则，

∴2mn=24-16，

∴mn=4，

故选：C．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线x2-y2=1左支上一点（a，b）到其渐近线y=x的距离是，则a+b的值为______．

正确答案

解析

解：P（a，b）点在双曲线上，则有a2-b2=1，即（a+b）（a-b）=1．

d==，

∴|a-b|=2．

又P点在左支上，则有a＜b，

∴a-b=-2．

∴|a+b|×（-2）=1，a+b=-，

故答案为：-．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1的离心率为e，拋物线x=2py2的焦点为（e，0），则p的值为（　　）

A2

B1

C

D

正确答案

D

解析

解：依题意得双曲线中a=2，b=2

∴c==4

∴e==2

拋物线方程为y2=x，故=2，得p=，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

（2015•唐山一模）F是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（　　）

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，

则另一渐近线OB的方程为 y=-x，

设A（m，），B（n，-），

∵2=，

∴2（c-m，-）=（n-c，-），

∴2（c-m）=n-c，-=-，

∴m=c，n=，

∴A（，）．

由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，

即•=-1，

∴a2=3b2，∴e===．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，抛物线y2=4cx（c＞0）的准线交该双曲线于A，B两点，若△ABF是锐角三角形且c2=a2+b2，则该双曲线离心率e的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：抛物线y2=4cx（c＞0）的准线为x=-c，

在双曲线=1中，

令x=-c得，y=±，

∴A，B两点的纵坐标分别为±，

由△ABF是锐角三角形知，∠AFO＜，

则tan∠AFO=＜tan=1，

∴＜1，c2-2ac-a2＜0，e2-2e-1＜0，

∴1-＜e＜1+．

又 e＞1，∴1＜e＜1+，

故选D．

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