双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

双曲线=1（a＞0，b＞0）的中心、右焦点、左顶点、右准线与x轴的交点依次为O，F，A，H则的取值范围为（　　）

A（2，+∞）

B（0，2）

C（1，2）

D（0，+∞）

正确答案

B

解析

解：A（-a，0），H（） O（0，0） F（c，0）

则=

∵c＞a

∴

故选B

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题型：填空题

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填空题

双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为______．

正确答案

y=±x

解析

解：∵双曲线C方程为：（a＞0，b＞0）

∴双曲线的渐近线方程为y=±x

又∵双曲线离心率为，

∴c=a，可得b==a

因此，双曲线的渐近线方程为y=±x

故答案为：y=±x

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题型：填空题

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填空题

双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意知a2=8，b2=4，

所以c2=a2+b2=12，

则a=2，c=2，

所以该双曲线的离心率e==．

故答案为．

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题型：单选题

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单选题

双曲线的焦点为（0，6），（0，-6），且经过点A（-5，6），则其标准方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

B

解析

解：由题意，A到两焦点的距离的差的绝对值为-5=8=2a，

∴a=4，

∵c=6，

∴b=，

∴双曲线的标准方程为-=1．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作B1B2⊥x轴交双曲线于B1、B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H，求证：H的横坐标为定值．

正确答案

证明：由于F（c，0），F1（-C，0），

则直线BB1：x=c，代入双曲线方程得，y=，

即有B1（c，），B2（c，-），

直线B2F1：y=-（x+c），与双曲线的交点B的坐标满足，

，解得B（，），

直线BB1的斜率为kBB1==，

直线BB1：y=kBB1（x-c）+，

令y=0，则x=c-=-，

故H的横坐标为定值，且为-．

解析

证明：由于F（c，0），F1（-C，0），

则直线BB1：x=c，代入双曲线方程得，y=，

即有B1（c，），B2（c，-），

直线B2F1：y=-（x+c），与双曲线的交点B的坐标满足，

，解得B（，），

直线BB1的斜率为kBB1==，

直线BB1：y=kBB1（x-c）+，

令y=0，则x=c-=-，

故H的横坐标为定值，且为-．

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题型：简答题

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简答题

已知直线与向量=（2，-1）垂直，且与抛物线y2=4x交于A、B两点，若AB的中点在双曲线x2-y2=8，求直线的方程．

正确答案

解：由直线与向量=（2，-1）垂直，

则直线的方向向量为（1，2），即有斜率为2，

设直线方程为y=2x+t，

代入抛物线方程y2=4x，

可得4x2+（4t-4）x+t2=0，

判别式（4t-4）2-16t2＞0，解得t＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=1-t，

则AB的中点的横坐标为，

即有y=1-t+t=1，

即有AB中点为（，1），

代入双曲线方程x2-y2=8，

即有（）2-12=8，

解得t=-5或7（舍去）．

则所求直线为y=2x-5．

解析

解：由直线与向量=（2，-1）垂直，

则直线的方向向量为（1，2），即有斜率为2，

设直线方程为y=2x+t，

代入抛物线方程y2=4x，

可得4x2+（4t-4）x+t2=0，

判别式（4t-4）2-16t2＞0，解得t＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=1-t，

则AB的中点的横坐标为，

即有y=1-t+t=1，

即有AB中点为（，1），

代入双曲线方程x2-y2=8，

即有（）2-12=8，

解得t=-5或7（舍去）．

则所求直线为y=2x-5．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线的两个焦点为F1（-，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是（　　）

A-y2=1

Bx2-=1

C-=1

D-=1

正确答案

A

解析

解：∵•=0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，

∴|MF1|2+|MF2|2=40，

∴（|MF1|-|MF2|）2=|MF1|2-2|MF1|•|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36，

∴||MF1|-|MF2||=6=2a，a=3，

又c=，∴b2=c2-a2=1，

∴双曲线方程为-y2=1．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知三点P（5，2），F1（-6，0），F2（6，0）．

（1）求以F1，F2为焦点，且过点P的椭圆方程；

（2）求以F1，F2为顶点，以（1）中椭圆长轴端点为焦点的双曲线方程．

正确答案

解：（1）设所求椭圆方程为

依题意有，解得b2=9，a2=45

故所求椭圆的方程为…（4分）

（2）设所求双曲线方程为，依题意知a2=36，b2=45-36=9

故所求双曲线方程为…（8分）

解析

解：（1）设所求椭圆方程为

依题意有，解得b2=9，a2=45

故所求椭圆的方程为…（4分）

（2）设所求双曲线方程为，依题意知a2=36，b2=45-36=9

故所求双曲线方程为…（8分）

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线方程是9x2-y2=-81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．

正确答案

解：∵双曲线方程是9x2-y2=-81，

∴双曲线标准方程为：，

实轴长：18，虚轴长为6，

a=9，b=3，c=3，

焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．

解析

解：∵双曲线方程是9x2-y2=-81，

∴双曲线标准方程为：，

实轴长：18，虚轴长为6，

a=9，b=3，c=3，

焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•湖北校级期末）双曲线2x2-y2=m的一个焦点是（0，），则m的值是______．

正确答案

-2

解析

解：双曲线2x2-y2=m，即，

由题意知m＜0，它的焦点为（0，±），

∴=，

∴m=-2，

故答案为：-2．

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