- 双曲线
- 共3579题
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为
（1）求双曲线方程；
（2）若M是双曲线右支上的点，且
正确答案
解：（1）∵e=
∴双曲线为等轴双曲线，
∴可设双曲线方程为x2-y2=λ；
∵过点（4，-
∴16-8=λ，即λ=8．
∴双曲线方程为x2-y2=8．
（2）∵M是双曲线右支上的点，且
∴
∴|MF1||MF2|=
∴S△F1MF2=
解析
解：（1）∵e=
∴双曲线为等轴双曲线，
∴可设双曲线方程为x2-y2=λ；
∵过点（4，-
∴16-8=λ，即λ=8．
∴双曲线方程为x2-y2=8．
（2）∵M是双曲线右支上的点，且
∴
∴|MF1||MF2|=
∴S△F1MF2=
双曲线x2-
Ay=
By=±2x
Cy=2x
Dy=-2x
正确答案
解析
解：因为双曲线
即y=±2x．
故选B．
双曲线
正确答案
2或22
解析
解：由双曲线的定义可得：||PF2|-12|=2a=10，
解得|PF2|=22，或|PF2|=2
故答案为：2或22
双曲线C：
正确答案
解：设点P（m，n），可得
∵
又∵P（m，n）在双曲线上，
∴
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（
化简整理，得-
此方程的一根为m1=a，另一根为m2=
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴
由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜
解析
解：设点P（m，n），可得
∵
又∵P（m，n）在双曲线上，
∴
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（
化简整理，得-
此方程的一根为m1=a，另一根为m2=
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴
由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜
已知离心率为
正确答案
解析
解：设点P（x，y），
离心率为
∵
∴PF1⊥PF2
∴
∴x2+y2=5，
代入双曲线方程
∴
∴|y|=
∴P到x轴的距离是
故答案为：
（1）求y1+y3的值；
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．
正确答案
（1）解：c=
由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，
则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得 2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，
即2|BB1|=|AA1|+|CC1|．∴2（6-
（2）证明：线段AC中点D（
∴线段AC的中垂线的斜率为-
又A、C在双曲线上，∴
∴x12-x32=13（y1-y3），代入①得 线段AC的中垂线的方程为 y=-
显然过定点（0，
解析
（1）解：c=
由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，
则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得 2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，
即2|BB1|=|AA1|+|CC1|．∴2（6-
（2）证明：线段AC中点D（
∴线段AC的中垂线的斜率为-
又A、C在双曲线上，∴
∴x12-x32=13（y1-y3），代入①得 线段AC的中垂线的方程为 y=-
显然过定点（0，
经过双曲线
A2
B
C
D
正确答案
解析
解：双曲线
设两条渐近线的夹角为θ，
则tanθ=tan∠MON=
设FN⊥ON，则F到渐近线y=
即有|ON|=
则△OMN的面积可以表示为
解得a=2b，
则e=
故选C．
已知双曲线
正确答案
4
解析
解：∵双曲线
又已知一条渐近线方程为y=x，∴
故答案为4．
直线y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的左支只有一个公共点，则k的取值为（ ）
A（-1，1]
Bk=
C[-1，1]
D（-1，1]∪
正确答案
解析
解：已知直线y=kx+1①与双曲线C：x2-y2=1②的左支只有一个公共点，即可得到交点的横坐标小于0．
把方程①代入②，整理得方程（1-k2）x2-2kx-2=0③恰有一负根，或方程有一正根，一负根．
恰有一负根：（1）当k=1时，方程③变为-2x-2=0，得x=-1，成立．
（2）当k=-1时，方程③变为2x-2=0，x=1，不成立舍去．
（3）当k≠-1或k≠1时△=4k2+8（1-k2）=0，k=±
一正根，一负根：-
综上k∈（-1，1]∪{
故选：D．
过双曲线C：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），
由x=a和一条渐近线y=
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），
则|AF|=|OF|=c=2，
即有
c2=a2+b2=4，
解得a=1，b=
即有双曲线的方程为x2-
故选A．
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