双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y=x，

则根据直线PF的斜率为-，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x=，

则P（，），则PF的中点（），

把中点坐标代入双曲线方程=1中，整理求得=，即离心率为

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•武进区期末）若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是______．

正确答案

16

解析

解：因为椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，

设P在双曲线的右支上，

利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=2×5=10①

|PF1|-|PF2|=2×3=6②

由①②得：|PF1|=8，|PF2|=2．

∴|PF1|•|PF2|=16．

故答案为：16．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为．

（1）求此双曲线的方程；

（2）设点P为双曲线上一点，A、B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若=，求△AOP的面积．

正确答案

解：（1）∵一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为，

∴=，

∴a=1，

∵=2，

∴b=2，

∴双曲线的方程为；

（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．

设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．

∵=，

∴P（，m+n），

代入化简得，mn=1，

设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=，

又|OA|=m，|OB|=n，

所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn=2．

解析

解：（1）∵一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为，

∴=，

∴a=1，

∵=2，

∴b=2，

∴双曲线的方程为；

（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．

设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．

∵=，

∴P（，m+n），

代入化简得，mn=1，

设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=，

又|OA|=m，|OB|=n，

所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn=2．

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题型：简答题

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简答题

设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，求此双曲线的离心率．

正确答案

解：设焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1（a＞0，b＞0），

因为该双曲线渐近线方程为y=±x，

所以=，即=，整理得：b2=3a2，

所以，e2====4，

所以此双曲线的离心率为：2．

解析

解：设焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1（a＞0，b＞0），

因为该双曲线渐近线方程为y=±x，

所以=，即=，整理得：b2=3a2，

所以，e2====4，

所以此双曲线的离心率为：2．

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题型：单选题

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单选题

设经过点 M（2，1）的等轴双曲线的焦点为F1、F2，此双曲线上一点 N满足 NF1⊥NF2，则△NF1F2的面积为（　　）

A

B

C2

D3

正确答案

D

解析

解：设双曲线的方程为x2-y2=λ，

代入点 M（2，1），可得λ=3，

∴双曲线的方程为x2-y2=3，即=1，

设|NF1|=m，|NF2|=n，则，

∴mn=6，

∴△NF1F2的面积为=3．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1、F2，一条渐近线方程为y=x，抛物线y2=8x的焦点与双曲线C的右焦点重合，点P（，y0）在双曲线上．则•=（　　）

A4

B0

C-1

D-2

正确答案

B

解析

解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），所以双曲线C的右焦点坐标为（2，0）

因为双曲线的一条渐近线方程为y=x，所以a=b，

所以a2+a2=4，所以a2=2，

所以双曲线方程为：x2-y2=2．

因为点P（，y0）在双曲线上，所以y0=±1，

不妨设P（，1），则•==3-4+1=0，

故选B．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线上一点P到右焦点的距离为8，则P到左准线的距离为______．

正确答案

或8

解析

解：双曲线上一点P到右焦点的距离为8，则由双曲线的定义可得，P到左焦点的距离为4或12，

再由第二定义可得 =e=，或 =e=，∴d= 或 8，

故答案为：或 8．

1

题型：填空题

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填空题

若双曲线+=1与抛物线x2=12y有相同焦点，则实数k的值为______．

正确答案

-4

解析

解：抛物线x2=12y的焦点坐标为（0，3），

∵双曲线+=1与抛物线x2=12y有相同焦点，

∴5-（-k）=9，

∴k=-4．

故答案为：-4．

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题型：填空题

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填空题

双曲线关于直线x-y+2=0对称的曲线方程是______．

正确答案

解析

解：∵对称轴是直线x-y+2=0的斜率等于1，

∴双曲线上的任意点（x，y）关于对称轴的对称点的坐标为（y-2，x+2），

即把原来的x换成y-2，把原来的y换成x+2，

∴双曲线关于直线x-y+2=0对称的曲线方程是-=1．

故答案为：-=1．

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题型：简答题

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简答题

求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．

正确答案

解：∵双曲线的渐近线方程为，

∴设所求双曲线方程为

∵点在双曲线上，

∴，解之得

∴所求双曲线方程为

∵，∴可得，得c=

因此，双曲线的离心率为：

解析

解：∵双曲线的渐近线方程为，

∴设所求双曲线方程为

∵点在双曲线上，

∴，解之得

∴所求双曲线方程为

∵，∴可得，得c=

因此，双曲线的离心率为：

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