双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

过双曲线x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与该双曲线的其中一条渐近线相交于点（，y0），则该双曲线的离心率是______．

正确答案

解析

解：∵双曲线x2-=1的左顶点A（1，0），

∴斜率为1的直线l的方程为：y=x-1，渐近线为：y=±bx，

∵l与该双曲线的其中一条渐近线相交于点（，y0），

∴点为（，），，b=1，

可得：双曲线的方程为x2-y2=1，

所以该双曲线的离心率是，

故答案为：，

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题型：单选题

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单选题

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）作其中一条渐近线的垂线，垂直为E，O为坐标原点，当△OEF的面积最大时，双曲线的离心率等于（　　）

A

B

C2

D3

正确答案

A

解析

解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，

即有右焦点F（c，0）（c=2）到渐近线的距离为：

d==b，

则|OE|===a，

由a2+b2=4，

又ab≤=2，（当且仅当a=b取等号），

则△OEF的面积为ab≤1，

当且仅当a=b=取得最大值1．

则离心率e==．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

以直线l1：5x+3y=0，l2：5x-3y=0为渐近线且过点M（1，3）的双曲线的标准方程．

正确答案

解：以直线l1：5x+3y=0，l2：5x-3y=0为渐近线的双曲线的方程

设为25x2-9y2=λ（λ≠0），

由双曲线经过点（1，3），即有25-9×9=λ，

解得λ=-56，

即为25x2-9y2=-56，

即有双曲线的标准方程为-=1．

解析

解：以直线l1：5x+3y=0，l2：5x-3y=0为渐近线的双曲线的方程

设为25x2-9y2=λ（λ≠0），

由双曲线经过点（1，3），即有25-9×9=λ，

解得λ=-56，

即为25x2-9y2=-56，

即有双曲线的标准方程为-=1．

1

题型：填空题

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填空题

过双曲线=1的焦点且与x轴垂直的弦长为______．

正确答案

解析

解：∵c==，

令x=代入=1可得，

y2=，

则过双曲线=1的焦点且与x轴垂直的弦长为2=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：x2-=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（　　）

A1条

B2条

C3条

D4条

正确答案

D

解析

解：根据双曲线方程可知a=1

∴右顶点为（1，0），使l与C有且只有一个公共点的情况为：

当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）

故可推断出满足条件得l共有4种情况．

故选D

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题型：填空题

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填空题

双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是______．

正确答案

4

解析

解：双曲线的一个焦点（0，5），一条渐近线是3x-4y=0，

由点到直线距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是；

故答案为4．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左、右焦点为F1、F2，过点F2的直线L与其右支相交于M、N两点（点M在x轴的上方），则点M到直线y=x的距离d的取值范围是______．

正确答案

（0，）

解析

解：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，F2（2，0），

根据双曲线的性质可得：

当直线L的斜与直线y=x的斜率很接近时，则点M就接近于直线y=x，即此时点M到直线y=x的距离d接近于0．

直线L的斜与直线y=-x的斜率很接近时，则点M就远离直线y=x，即此时点M到直线y=x的距离d接近于．

故答案为：（0，）．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线my2-x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±x

By=±x

Cy=±x

Dy=±3x

正确答案

A

解析

解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．

双曲线my2-x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），

∵双曲线my2-x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，

∴=2，∴m=，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：-y2=1，P是C上的任意点．

（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．

正确答案

解：（1）设P（x0，y0），P到两准线的距离记为d1，d2

∵两准线为x-2y=0，x+2y=0…..2‘

∴…..4’

又∵点P在曲线C上，

∴=，得（常数）

即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数….6’

（2）设P（x0，y0），由平面内两点距离公式得

|PA|2=…8’

∵，可得=

∴|PA|2==…..9’

又∵点P在双曲线上，满足|x0|≥2，

∴当x0=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2….12’

解析

解：（1）设P（x0，y0），P到两准线的距离记为d1，d2

∵两准线为x-2y=0，x+2y=0…..2‘

∴…..4’

又∵点P在曲线C上，

∴=，得（常数）

即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数….6’

（2）设P（x0，y0），由平面内两点距离公式得

|PA|2=…8’

∵，可得=

∴|PA|2==…..9’

又∵点P在双曲线上，满足|x0|≥2，

∴当x0=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2….12’

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题型：填空题

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填空题

双曲线的离心率是______．

正确答案

2

解析

解：∵双曲线中，a2=1且b2=3

∴a=1，b=，可得c==2

因此双曲线的离心率e==2

故答案为：2

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