双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵抛物线y2=2bx的焦点F（，0），双曲线-=1（a＞b＞0）左、右焦点F1（-c，0），F2（c，0），

又线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，

∴=，即=，

∴c=2b；

又c2=a2+b2=4b2，

∴a2=3b2，

∴此双曲线的离心率e2===，

∴e==．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，cos=，•=0，•（+）=0，则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为______．

正确答案

2

解析

解：由已知中•=0可得：AH为BC边上的高

又由•（+）=0可得：CA=CB

又由cos=，可得tanC=

令AH=4x，则CH=3x，AC=BC=5x，BH=2x，

则过点C，以A、H为两焦点的双曲线中，2a=5x-3x=2x，2c=4x

则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率e=2．

故答案为：2

1

题型：单选题

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单选题

若P为双曲线右支上一个动点，F为双曲线的左焦点，M为PF的中点，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为（　　）

A[0，+∞]

B[2，+∞]

C[，+∞]

D[1+∞]

正确答案

D

解析

解：当点P是双曲线的右顶点时，

即P点坐标是（5，0）时，|OM|取最小值，

此时M是F（-7，0）和P（5，0）的中点，∴M（-1，0）．

所以|OM|的最小值为1．

∵双曲线可以无限伸展，∴|OM|的最大值是+∞．

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

（2015•枞阳县校级模拟）已知双曲线x2-y2=2015的左、右顶点分别为A1，A2，P是双曲线右支上一点，且∠A1PA2=4∠PA1A2，则tan∠PA1A2的值是______．

正确答案

-1

解析

解：由题意A1（-，0），A2（，0），P（x，y），

kPA1=tan∠PA1A2=，①

kPA2=-tan∠PA2A1=，②

由x2-y2=2015得=1，

①×②，得-tan∠PA1A2tan∠PA2A1=1，

∴tan∠PA1A2tan（5∠PA1A2）=1

即tan（5∠PA1A2）=tan（-∠PA1A2）

∴5∠PA1A2=-∠PA1A2

∴∠PA1A2=，

∴tan∠PA1A2=tan=tan（-）==-1．

故答案为：-1．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为______．

正确答案

解析

解：∵上的投影的大小恰好为，

∴PF1⊥PF2，

又因为它们的夹角为，

所以，

所以在直角三角形PF1F2中，F1F2=2c，

所以PF2=c，PF1=

又根据双曲线的定义得：PF1-PF2=2a，

∴c-c=2a，

∴，

所以e=．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

设双曲线的左右焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，求证：若PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点．

正确答案

证明：设F1H的延长线与PF2的延长线交于A，则PF1=PA，H为F1A的中点，

∴F2A=2a，

∵O是F1F2的中点，

∴OH=F2A=a，

∴焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点．

解析

证明：设F1H的延长线与PF2的延长线交于A，则PF1=PA，H为F1A的中点，

∴F2A=2a，

∵O是F1F2的中点，

∴OH=F2A=a，

∴焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点．

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题型：填空题

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填空题

设F1，F2是离心率为的双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，则△PF1F2最小内角的大小是：______．

正确答案

解析

解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|-|PF2|=2a，

又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角

∵|F1F2|=2c，=．

∴cos∠PF1F2==，

∴∠PF1F2=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），其准线方程为x=-，

∵准线经过双曲线的左焦点，

∴c=；

∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，

∴M的横坐标为，

代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±p，

将M的坐标代入双曲线方程，可得-=1，∴a=p，

∴e==1+．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

双曲线-=1（b＞0）的焦距为6，则双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±x

By=±x

Cy=±x

Dy=±x

正确答案

A

解析

解：双曲线-=1（b＞0）的焦距为6，所以a=2，c=3，所以b=，

所以双曲线的渐近线方程为：y=±x．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线y2-x2=1与有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为（　　）

A2

B4

C5

D6

正确答案

D

解析

解：可化为：

（x≠1），

它表示经过A（2，1）且斜率为m的直线l（除去x=1的点）

如图，

设直线x=1与双曲线y2-x2=1的两个交点分别为M，N．

当直线l经过M或N时，双曲线y2-x2=1与l有唯一的公共点，

另外当直线l平行于双曲线y2-x2=1的渐近线时，也有唯一的公共点，实数m的取值集合中元素的个数为4．

当过这个点的直线与双曲线相切是，还有两个元素，

共有6个元素

故选D．

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