双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

【理科】双曲线=1与直线y=kx+1有唯一公共点，则k值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：联立双曲线=1与直线y=kx+1，化为（1-4k2）x2-8kx-8=0．

①当1-4k2=0时，可得k=±，此时直线l的方程为y=±x+1，分别与等轴双曲线的渐近线平行，此时直线l与双曲线有且只有一个交点，满足题意；

②当1-4k2≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=64k2+32（1-4k2）=0，解得k=±．此时满足条件．

综上可得：k=±，或k=±．

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线的离心率为，则a的值是（　　）

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

解：∵双曲线的离心率为，

∴，

解得a=．

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3，0），一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．

由题设得，解得，所以双曲线方程为．

（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．

点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得（5-4k2）x2-8kmx-4m2-20=0．

此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0，且△=（-8km）2+4（5-4k2）（4m2+20）＞0．

整理得m2+5-4k2＞0． ③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．

从而线段MN的垂直平分线方程为．

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．

由题设可得．

整理得，k≠0．

将上式代入③式得，整理得（4k2-5）（4k2-|k|-5）＞0，k≠0．

解得或．

所以k的取值范围是．

解析

解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．

由题设得，解得，所以双曲线方程为．

（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．

点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得（5-4k2）x2-8kmx-4m2-20=0．

此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0，且△=（-8km）2+4（5-4k2）（4m2+20）＞0．

整理得m2+5-4k2＞0． ③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．

从而线段MN的垂直平分线方程为．

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．

由题设可得．

整理得，k≠0．

将上式代入③式得，整理得（4k2-5）（4k2-|k|-5）＞0，k≠0．

解得或．

所以k的取值范围是．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是______．

正确答案

（1，）

解析

解：不防设点P（xo，yo）在右支曲线上并注意到xo＞a．由正弦定理有，

由双曲线第二定义得：|PF1|=a+exo，|PF2|=exo-a，

则有=，得xo=＞a，

分子分母同时除以a2，易得：＞1，

解得1＜e＜+1

故答案为（1，）

1

题型：简答题

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简答题

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．

（Ⅰ）建立坐标系并写出该双曲线方程；

（Ⅱ）求冷却塔的容积（精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14）．

正确答案

解：（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴．

设双曲线方程为，则．

又设B（11，y1），C（9，y2），

因为点B、C在双曲线上，所以有，①，②

由题意知y2-y1=20．③

由①、②、③得．

故双曲线方程为；

（II）由双曲线方程得．

设冷却塔的容积为V（m3），则=，

∴V≈4.25×103（m3）．

答：冷却塔的容积为4.25×103（m3）．

解析

解：（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴．

设双曲线方程为，则．

又设B（11，y1），C（9，y2），

因为点B、C在双曲线上，所以有，①，②

由题意知y2-y1=20．③

由①、②、③得．

故双曲线方程为；

（II）由双曲线方程得．

设冷却塔的容积为V（m3），则=，

∴V≈4.25×103（m3）．

答：冷却塔的容积为4.25×103（m3）．

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题型：单选题

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单选题

如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且它被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：圆的方程为x2+y2=c2，右准线的方程是，

它与圆在第一象限的交点记为P．由题意可得，

直线OP的方程为．将和

代入x2+y2=c2，有c2=2a2，即．故选A．

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题型：单选题

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单选题

设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：依据双曲线的定义：|PF1|-|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，

∴|PF1|=3a，|PF2|=a，

∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，

∴F1F2是圆的直径，

∴∠F1PF2=90°

在直角三角形F1PF2中

由（3a）2+a2=（2c）2，得

故选 D

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线过点（4，），渐近线方程为y=±x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是______．

正确答案

解析

解：由题意，设双曲线方程为

∵双曲线过点（4，），∴λ=1

∴双曲线的方程为，

∴双曲线的顶点为（±3，0），焦点为（±5，0）．

又圆心在双曲线上，所以圆C应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即圆心的横坐标为±4，

设圆心的纵坐标为m，则-=1，

所以m2=，

所以所求的距离为=．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

过双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM=ME，则该双曲线的离心率为（　　）

A3

B2

C

D

正确答案

D

解析

解答：解：∵|FM|=|ME|，渐近线与FE垂直

∴OE=OF，

∴OM为角平分线，渐近线与x轴的夹角为45°

∴=tan45°=1

∴a=b

∴c==a

∴e==

故选D．

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题型：填空题

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填空题

如图，F1，F2是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右分支分别交于A，B两点．若AB：BF2：AF2=3：4：5，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，

∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，

又由双曲线的定义得：|BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a，

∴|AF1|+3-4=5-|AF1|，∴|AF1|=3．

∴|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a，∴a=1．

在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，

又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，

∴c=，

∴双曲线的离心率e==．

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