双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知A、B两监测点间距离为3400米，且两点到同一爆炸声的时间差为6s，且B处的声强是A处声强的4倍，声强与距离的平方成反比，求爆炸点P到两监测点中点Q的距离（精确到1m，声速为340m/s）．

正确答案

解：因为B处的声强是A处的4倍，声强与距离的平方成反比，

所以PA=2PB，

因为听到同一爆炸声的时间差为6s，

所以PA-PB=340×6=2040，

故PA=4080，PB=2040，

因为AB=3400，

所以AB2+（2PQ）2=2（40802+20402），

所以34002+（2PQ）2=2（408022+20402），

解得PQ≈2931．

解析

解：因为B处的声强是A处的4倍，声强与距离的平方成反比，

所以PA=2PB，

因为听到同一爆炸声的时间差为6s，

所以PA-PB=340×6=2040，

故PA=4080，PB=2040，

因为AB=3400，

所以AB2+（2PQ）2=2（40802+20402），

所以34002+（2PQ）2=2（408022+20402），

解得PQ≈2931．

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题型：简答题

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简答题

已知命题p：表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k-1）x2+（k-3）y2=1表示双曲线．若p和q有且仅有一个正确，求k的取值范围．

正确答案

解：当p正确时，k＞4-k＞0，即2＜k＜4．

当q正确时，（k-1）（k-3）＜0即1＜k＜3．

由题设，若p和q有且只有一个正确，则

（1）若 p正确q不正确，∴，∴3＜k≤4．

（2）若 q正确p不正确∴，∴1＜k≤2．

∴综上所述，若p和q有且仅有一个正确，k的取值范围是k∈（1，2]∪（3，4]．

解析

解：当p正确时，k＞4-k＞0，即2＜k＜4．

当q正确时，（k-1）（k-3）＜0即1＜k＜3．

由题设，若p和q有且只有一个正确，则

（1）若 p正确q不正确，∴，∴3＜k≤4．

（2）若 q正确p不正确∴，∴1＜k≤2．

∴综上所述，若p和q有且仅有一个正确，k的取值范围是k∈（1，2]∪（3，4]．

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题型：填空题

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填空题

设点P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵圆x2+y2=a2+b2的半径r==c，

∴F1F2是圆的直径，

∴∠F1PF2=90°

依据双曲线的定义：|PF1|-|PF2|=2a，

又∵在Rt△F1PF2中，tan∠PF2F1=3，

即|PF1|=3|PF2|，

∴|PF1|=3a，|PF2|=a，

在直角三角形F1PF2中

由（3a）2+a2=（2c）2，

得e==．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（　　）

A4

B3

C2

D1

正确答案

C

解析

解：的渐近线为y=，

∵y=与3x±2y=0重合，

∴a=2．

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1的左右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（　　）

A|OB|=|OA|

B|OA|=e|OB|

C|OB|=e|OA|

D|OB|与|OA|大小关系不确定

正确答案

A

解析

解：F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A

∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，

|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，

则|（x+c）-（c-x）|=2a

∴x=a；

|OA|=a，

在△PCF2中，由题意得，F2B⊥PI于B，延长交F1F2于点C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2，

∴在三角形F1CF2中，有：

OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．

∴|OB|=|OA|．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±x．

（1）求该双曲线的离心率；

（2）若点P（2，1）在双曲线E上，求直线y=kx+1与该双曲线有且仅有一个公共点时相应的k值．

正确答案

解：（1）双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，

则有=，即有c===a，

即有双曲线的离心率e==；

（2）点P（2，1）在双曲线上，

则有=1，

又=，解得，a=，b=1．

则双曲线的方程为-y2=1．

联立，消去y得：（1-2k2）x2-4kx-4=0．

当1-2k2=0时，即k=±，x=-，

此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点，满足题意．

当1-2k2≠0时，△=16k2-4（1-2k2）×（-4）=0．解得k=±1．

综上所述k=±或k=±1．

解析

解：（1）双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，

则有=，即有c===a，

即有双曲线的离心率e==；

（2）点P（2，1）在双曲线上，

则有=1，

又=，解得，a=，b=1．

则双曲线的方程为-y2=1．

联立，消去y得：（1-2k2）x2-4kx-4=0．

当1-2k2=0时，即k=±，x=-，

此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点，满足题意．

当1-2k2≠0时，△=16k2-4（1-2k2）×（-4）=0．解得k=±1．

综上所述k=±或k=±1．

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题型：填空题

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填空题

椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积为______．

正确答案

解析

解：∵椭圆+=1中，a2=6，b2=2，∴c2=a2-b2=4，得c=2，

因此椭圆的焦点坐标为F1（2，0）、F2（2，0），也是双曲线-y2=1的焦点．

∵P是两曲线的一个交点，设P（m，n）

∴联解，得x2=，y2=，所以|n|=

因此△PF1F2的面积为S=|F1F2|•|n|=

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（　　）

A4

B

C2

D2

正确答案

B

解析

解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、

PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，

则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，

它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，

∴S△IPF1=|PF1|•|IF|=|PF1|r，

S△IPF2=|PF2|•|IG|=|PF2|r，

S△IF1F2=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r，

其中r是△PF1F2的内切圆的半径．

∵S△IPF2=S△IPF1-S△IF1F2，

∴|PF2|=|PF1|-|F1F2|，

两边约去得：|PF2|=|PF1|-|F1F2|，

∴|PF1|-|PF2|=|F1F2|

根据双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，

∴2a=c⇒离心率为e==．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

P是双曲线的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为______．

正确答案

解析

解：设双曲线左焦点为F2，则|PA|+|PF|=|PF2|-2a+|PA|=

当P、F2、A三点共线时有最小值，此时F2（-2，0）、A（3，1）所以

|PF2|+|PA|=|AF2|=，而对于这个双曲线，2a=2，

所以最小值为-2

故答案为-2

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线x2-，经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与双曲线交于A、B，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时有

得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有

△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜

又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标

∴x1+x2= 又M（1，1）为线段AB的中点

∴=1 即 k=2

∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在

解析

解：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时有

得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有

△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜

又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标

∴x1+x2= 又M（1，1）为线段AB的中点

∴=1 即 k=2

∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在

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