双曲线_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线C的中点在原点，双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（）．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设双曲线C的左顶点为A，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为，

∵双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（），

∴，∴，

∴双曲线C的方程为；

（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．

以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．

设P（x0，y0），则kPA=tan∠PAF=，kPF=-tan∠PFA=．

tan2∠PAF==．

由得y02=3（x02-1）代入上式，得tan2∠PAF=tan∠PFA恒成立．

∵∠PFA∈（0，）∪（），∠PAF∈（0，）∪（），

∴∠PFA=2∠PAF恒成立．

综上，常数λ为2．

解析

解：（1）设双曲线方程为，

∵双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（），

∴，∴，

∴双曲线C的方程为；

（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．

以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．

设P（x0，y0），则kPA=tan∠PAF=，kPF=-tan∠PFA=．

tan2∠PAF==．

由得y02=3（x02-1）代入上式，得tan2∠PAF=tan∠PFA恒成立．

∵∠PFA∈（0，）∪（），∠PAF∈（0，）∪（），

∴∠PFA=2∠PAF恒成立．

综上，常数λ为2．

1

题型：填空题

|

填空题

已知双曲线x2-=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为______．

正确答案

-2

解析

解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），

易得A1（-1，0），F2（2，0），

•=（-1-x，y）•（2-x，y）=x2-x-2+y2，

又x2-=1，故y2=3（x2-1），

于是•=4x2-x-5=4-5-，

当x=1时，取到最小值-2；

故答案为：-2．

1

题型：单选题

|

单选题

双曲线，（n＞1）的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（　　）

A

B1

C2

D4

正确答案

B

解析

解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，

P为右支上一点，

|PF1|-|PF2|=2①

|PF1|+|PF2|=2②，

由①②解得：

|PF1|=+，|PF2|=-，

得：|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2，

∴PF1⊥PF2，

又由①②分别平方后作差得：

|PF1||PF2|=2，

故选B

1

题型：单选题

|

单选题

双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是（　　）

A（-∞，0）

B（1，+∞）

C（-∞，0）∪（1，+∞）

D（-∞，-1）∪（1，+∞）

正确答案

C

解析

解：由题意条件知双曲线的渐近线倾斜角为45°，

当点P向双曲线左下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；

当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°．

所以直线PF的倾斜角的范围是（45°，180°）．

由此可知直线PF的斜率的变化范围（-∞，0）∪（1，+∞）．

故选C．

1

题型：填空题

|

填空题

点P在双曲线x2-y2=1上运动，O为坐标原点，线段PO中点M的轨迹方程是______．

正确答案

4x2-4y2=1

解析

解：设M（x，y），则P（2x，2y），代入双曲线方程得4x2-4y2=1，即为所求．

∴点M的轨迹方程4x2-4y2=1．

故答案为：4x2-4y2=1．

1

题型：填空题

|

填空题

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B．若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是______．（用k表示）

正确答案

解析

解：∵|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）； B．（1，3]； C．（3，+∞）； D．[3，+∞）”

其正确选项是B，区间前端点为1，后端点为3==，

若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，

得出双曲线离心率的取值范围是开区间，前端点为1，后端点为，

∴双曲线离心率的取值范围是；

故答案为．

1

题型：简答题

|

简答题

A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．

正确答案

解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则

依题意|PB|-|PA|=4

∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为 …（3分）

又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上…（5分）

由方程组解得即 …（8分）

由于，可知P在A北30°东方向．…（10分）

解析

解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则

依题意|PB|-|PA|=4

∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为 …（3分）

又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上…（5分）

由方程组解得即 …（8分）

由于，可知P在A北30°东方向．…（10分）

1

题型：单选题

|

单选题

双曲线x2-y2=1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线的方程为（　　）

Ay=2x-1

By=2x-2

Cy=2x-3

Dy=2x+3

正确答案

C

解析

解：设以A（2，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则x1+x2=4，y1+y2=2．

又x12-y12=1，①

x22-y22=1，②

①-②得：（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2），

又据对称性知x1≠x2，

∴A（2，1）为中点的弦所在直线的斜率k=2，

∴中点弦所在直线方程为y-1=2（x-2），即y=2x-3．

故选C．

1

题型：填空题

|

填空题

已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点、若|PF2|=3，则|PF1|=______．

正确答案

5

解析

解：∵双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0，

∴a=1，

由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=2，

∴|PF1|-3=2，

∴|PF1|=5．

故答案为：5．

1

题型：简答题

|

简答题

如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA=100m，BP=120m，BC=60m，∠APB=60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．

正确答案

解：田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．

设M是界线上的任一点，则

|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，

即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=20（定值）

故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．

若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则a=10，

2c=|AB|=c=，b2=c2-a2=3000．

因此，双曲线方程为（x≥10，0≤y≤60），

即为所求界线的方程．

解析

解：田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．

设M是界线上的任一点，则

|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，

即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=20（定值）

故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．

若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则a=10，

2c=|AB|=c=，b2=c2-a2=3000．

因此，双曲线方程为（x≥10，0≤y≤60），

即为所求界线的方程．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析