双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．

（1）求A、C两个救援中心的距离；

（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论．

正确答案

解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则

即A、C两个救援中心的距离为

（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上

又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：x=-8∴

∴∠PAB=120°所以P点在A点的北偏西30°处

（3）如图，设|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y

∵

=

又∵

∴|QB|-|QA|＜|PB|-|PA|∴

即A、B收到信号的时间差变小

解析

解：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则

即A、C两个救援中心的距离为

（2）∵|PC|=|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上

又∵|PB|-|PA|=4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6

∴双曲线方程为

BC的垂直平分线的方程为

联立两方程解得：x=-8∴

∴∠PAB=120°所以P点在A点的北偏西30°处

（3）如图，设|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y

∵

=

又∵

∴|QB|-|QA|＜|PB|-|PA|∴

即A、B收到信号的时间差变小

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，若|AB|=3，则△ABF1的周长为______．

正确答案

22

解析

解：根据题意，双曲线图象如图：

|AF1|-|AF2|=2a=8 ①

|BF1|-|BF2|=2a=8 ②

而|AB|=3

①+②

得：|AF1|+|BF2|=19

∴周长为22

故答案为：22

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题型：单选题

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单选题

已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足PF1⊥PF2，且|PF1|：|PF2|=2：3，则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由得|PF2|=6a，|PF1|=4a；

在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴4c2=36a2+16a2，解得

故选D

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题型：简答题

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简答题

已知A、B是双曲线C：的左、右顶点，P是坐标平面上异于A、B的一点，设直线PA、PB的斜率分别为k1，k2．

求证：k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

正确答案

证明：设P（x0，y0），易知A （-2，0），B （2，0）

（1）充分性：由k1k2=知：，

所以，即，

故点P在双曲线上；

（2）必要性：因为点P在双曲线C上，

所以，故

由已知x0≠±2，故k1k2==

综上（1）（2）知k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

解析

证明：设P（x0，y0），易知A （-2，0），B （2，0）

（1）充分性：由k1k2=知：，

所以，即，

故点P在双曲线上；

（2）必要性：因为点P在双曲线C上，

所以，故

由已知x0≠±2，故k1k2==

综上（1）（2）知k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

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题型：简答题

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简答题

已知点A和B，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

正确答案

解：设点C（x，y），则|CA|-|CB|=±2．

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线．

由2a=2，，得a2=1，b2=2．

故点C的轨迹方程是．

由，得　x2+4x-6=0．

∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点．

设D（x1，y1）、E（x2，y2），则　x1+x2=-4，x1•x2=-6．

故．

解析

解：设点C（x，y），则|CA|-|CB|=±2．

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线．

由2a=2，，得a2=1，b2=2．

故点C的轨迹方程是．

由，得　x2+4x-6=0．

∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点．

设D（x1，y1）、E（x2，y2），则　x1+x2=-4，x1•x2=-6．

故．

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题型：填空题

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填空题

已知点P在渐近线方程为4x±3y=0的双曲线-=1（a＞0，b＞0）上，其中F1，F2分别为其左、右焦点．若△PF1F2的面积为16且=0，则a+b的值为______．

正确答案

7

解析

解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，

由渐近线方程为4x±3y=0，则4a=3b，c==a，

设|PF1|=m，|PF2|=n，

由双曲线的定义可得|m-n|=2a，

由=0，可得PF1⊥PF2，即m2+n2=4c2，

即（m-n）2+2mn=4c2，即有mn=2c2-2a2=a2．

由△PF1F2的面积为16，即有mn=32，

即有a=3，b=4，a+b=7．

故答案为：7．

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题型：简答题

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简答题

求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．

正确答案

解：当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为，

把A（3，-1）代入方程得，a2=8，

∴双曲线的标准方程为．（4分）

当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为，

把A（3，-1）代入方程得，a2=-8，这种情况不存在．（6分）

解析

解：当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为，

把A（3，-1）代入方程得，a2=8，

∴双曲线的标准方程为．（4分）

当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为，

把A（3，-1）代入方程得，a2=-8，这种情况不存在．（6分）

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题型：填空题

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填空题

双曲线的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当|HF|≥|AF|时，的最大值为 ______．

正确答案

解析

解：|HF|=，|AF|=c-a，

则≥（c-a）⇒≥⇒c≤2a⇒e≤2

==e-，

记f（x）=x-，函数f（e）在（1，2]上递增，

∴f（x）≤f（2）=；

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

给定双曲线，过A（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于B、C两点，且A为线段BC中点？这样的直线若存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

正确答案

解：假设存在题设中的直线m．---------1′

设直线m的方程为y-1=k（x-1），-----------2′

由

得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

设B（x1，y1）、C（x2，y2）--------6′，

则=2，解得：k=2-------------11′

此时，△＜0，所以k=2时，直线m与双曲线不相交，

故假设不成立，即题中的直线m不存在．--------------13′

解析

解：假设存在题设中的直线m．---------1′

设直线m的方程为y-1=k（x-1），-----------2′

由

得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

设B（x1，y1）、C（x2，y2）--------6′，

则=2，解得：k=2-------------11′

此时，△＜0，所以k=2时，直线m与双曲线不相交，

故假设不成立，即题中的直线m不存在．--------------13′

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题型：简答题

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简答题

已知P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，F1，F2为它的左右焦点，求的范围．

正确答案

解：设P（m，n）（m＞0），则m2-n2=a2，

等轴双曲线的离心率为e=，

由双曲线的第二定义可得|PF1|=ed1=e（m+）=m+a，

则|PF2|=m-a，

|PO|==，

则有==，

由于m2≥a2，即0＜≤1．

即有1≤2-＜2，

则有的取值范围为（2，2]．

解析

解：设P（m，n）（m＞0），则m2-n2=a2，

等轴双曲线的离心率为e=，

由双曲线的第二定义可得|PF1|=ed1=e（m+）=m+a，

则|PF2|=m-a，

|PO|==，

则有==，

由于m2≥a2，即0＜≤1．

即有1≤2-＜2，

则有的取值范围为（2，2]．

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